§4.4线性代数 幻灯片.pptVIP

* §4.4 线性方程组解的结构 设线性方程组 若记 则上述方程组可写成向量方程 Ax = b. 当b=0时, 称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组. (1) n个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A) n. (2) n个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B=(A | b)的秩相等, 且当R(A)=R(B)=n时有唯一解; 当R(A)=R(B)n时有无穷多解; 本节将最终解决线性方程组的解的理论问题. 前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法, 并得出了两个重要结论: 若x1=?11, x2=?21, ···, xn=?n1为方程组Ax = b的解, 则 称为方程组Ax = b的解向量. 一、齐次线性方程组解的性质 (1) 若x = ?1, x = ?2为Ax = 0的解, 则 x =?1 + ?2也是Ax = 0的解. 证明: 因为 A?1 = 0, A?2 = 0, 所以 A(?1 + ?2) = A?1 + A?2 = 0, 故 x =?1 + ?2也是Ax = 0的解. (2) 若x = ?1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k?1也是 Ax = 0的解. 证明: 因为 A?1 = 0, 所以 A(k?1) = kA?1 = k 0 = 0, 故 x = k?1也是Ax = 0的解. 　　把方程组Ax = 0的全体解向量所组成的集合记为S. 二、基础解系及其求法 1. 基础解系的定义 称向量组?1, ?2, ···, ?t为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系, 如果 (1) ?1, ?2, ···, ?t 是Ax = 0的一组线性无关的解; (2) Ax = 0的任一解都可由?1, ?2, ···, ?t 线性表出. 如果向量组?1, ?2, ···, ?t 为齐次线性方程组Ax = 0的一组基础解系, 那么, Ax = 0的通解可表示为: x = k1?1 + k2?2 + ··· + kt?t 其中k1, k2, ···, kt为任意常数. 注：方程组Ax = 0的基础解系是不唯一的. 2. 线性方程组基础解系的求法 　　设齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A的前 r 个列向量线性无关, 于是A可化为: 则, Ax = 0 ? (1) 现对( xr+1, ···, xn )T 取下列 n–r 组数(向量): 分别代入方程组(1)依次得: 从而求得原方程组的 n–r个解: ···, 下面证明: ?1, ?2, ···, ?n-r 是齐次线性方程组 Ax = 0的一个基础解系. (1) 证明: ?1, ?2, ···, ?n-r 线性无关. 由于n–r 个 n–r 维向量 线性无关. 所以 n–r 个 n 维向量 ?1, ?2, ···, ?n-r 亦线性无关. (2) 证明Ax = 0的解空间的任一解, 都可由?1, ?2, ···, ?n-r 线性表示. 设 x = ? = (?1, ···, ?r , ?r+1, ···, ?n)T为方程组 Ax = 0 的一个解. 作?1, ?2, ···, ?n-r 的线性组合 ? =?r+1?1 + ?r+1?2 + ··· +?n?n-r , 则?也为方程组 Ax = 0 的一个解. ? = + ··· + 且 又由于?与?都是方程组Ax=0的解. 而Ax=0又等价于方程组 所以?与?都是方程组(1)的解. 于是, 由 得 ?1=c1, ?2=c2, ···, ?r=cr . 故 ? = ? . (1) ? =?r+1?1 + ?r+1?2 + ··· +?n?n-r . 所以, ?1, ?2, ···, ?n-r 是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系. 即 定理7:设m ?n矩阵的秩R(A)=r, 则n元齐次线性方程组 Am?nx = 0 的解集S的秩为 n–r. 当R(A)=n时, 方程组Ax = 0只有零解, 故没有基础解系(此时解集空间只含一个零向量, 为0维向量空间). 当R(A)=r n时, 方程组Ax=0必有含n–r个向量的基础解系?1, ?2, ···, ?n-r . 此时的任意解可表示为: x = k1?1 + k2?2 + ··· + kn-r?n-r 其中k1, k2, ···, k