§4.5线性代数 幻灯片.pptVIP

* §4.4 向量空间 一、向量空间的概念 定义: 设V为n维向量的集合, 如果集合V非空, 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合V为向量空间. 说明2. 所有n维实向量的集合是一个向量空间, 记作Rn. 说明1. 集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指: 若??, ? ?V, 则 ?+? ?V; 若?? ?V, ??R, 则 ?? ?V. 因为, 对 ?=(1, a2, a3, ···, an)T?V2, 2?R, 解: V1是向量空间. 因为对于V1的任意两个元素 例2: 判别下列集合是否为向量空间, 解: V1不是向量空间. 则有 2?=(2, 2a2, 2a3, ···, 2an)T 例1: 判别下列集合是否为向量空间, 2 V2 ={ x = (1, x2, x3, ···, xn)T | x2, x3, ···, xn?R }. V1 ={ x = (0, x2, x3, ···, xn)T | x2, x3, ···, xn?R }. ? =(0, a2, a3, ···, an)T, ? =(0, b2, b3, ···, bn)T?V1, ??R, 有 ?+? =(0, a2+b2, a3+b3, ···, an+bn)T?V1, ?? =(0, ?a2, ?a3, ···, ?an)T?V1. ?V2 . 解: V是一个向量空间. 因为, 对? x1 = ?1a + ?1b, x2 = ?2a + ?2b ?V, 则有, x1+x2 = (?1+?2)a + (?1+?2 )b ?V, kx1 = (k?1) a + (k?1) b ?V, 这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空间. 一般地, 由向量组a1, a2, ···, am所生成的向量空间 为: 例3: 设a, b为两个已知的n维向量, 集合 V={ x=?a+?b | ?, ??R }, 试判断集合V是否为向量空间. V={ x=?1a1+?2a2+···+?mam | ?1, ?2, ···,?m?R }, 证明: 对任意x?V1, 则x可由a1, a2, ···, am线性表示, 因向量组a1, a2, ···, am可由b1, b2, ···, bs线性表示, 故x 可由b1, b2, ···, bs线性表示. 所以x?V2. 因此, V1?V2. 由向量组a1, a2, ···, am与b1, b2, ···, bs等价的条件, 类似地可证, V2?V1. 从而, V1=V2. 例4: 设向量组a1, a2, ···, am与b1, b2, ···, bs等价, 记 试证V1=V2. V1={ x=?1a1+?2a2+···+?mam | ?1, ?2, ···,?m?R }, V2={ x=?1b1+?2b2+···+?sbs | ?1, ?2, ···, ?s?R }, 二、子空间 定义: 设有向量空间V1及V2, 若有V1?V2. 则称V1是V2的子空间. 实例: 设V是由n维向量所组成的向量空间, 显然V?Rn, 所以V总是Rn的子空间. 三、向量空间的基与维数 定义: 设V是向量空间, 如果有r 个向量?1, ?2, ···, ?r?V, 满足 (1) ?1, ?2, ···, ?r 线性无关; (2) V中任一向量都可由?1, ?2, ···, ?r 线性表示. 则称向量组?1, ?2, ···, ?r为向量空间V的一个基, 称整数r 为向量空间V的维数, 并称V为r 维向量空间. 说明1: 只含有零向量的向量空间称为0维向量空间, 因此它没有基． 说明3: 若向量组?1, ?2, ···, ?r 是向量空间V的一个基, 则V可表示为 说明2: 若把向量空间V看作向量组, 那末V的基就是向量组V的最大无关组, V的维数就是向量组的秩. 例5: 设矩阵 验证a1, a2, a3是R3的一个基, 并把b1, b2用这个基线性表示. V={ x=?1?1 +?2?2+···+?r?r | ?1, ?2, ···,?r?R }, 解: 要证a1, a2, a3是R3的一个基, 只需证a1, a2, a3线性无关. 在此情况下又只需证A?E. 设 即 记作B=AX. (b1, b2) = (a1, a2, a3) 对矩阵(A|B)施行初等行变换, 若A能变为E, 则a1, a2, a3为R3的一个基, 且A当变为E时, B就