§2.3 初等解析函数 幻灯片.pptVIP

定义1 比较 例2 例4 三、三角函数与双曲函数 由Euler公式，对任何实数x，我们有： 正弦与余弦函数的基本性质 三角函数的基本性质 3、cosz和sinz是以为周期的周期函数: 三角函数的基本性质 三角函数的基本性质 三角函数的基本性质 三角函数的基本性质: 9、反正切函数：由函数 所定义的函数 w称为z的反正切函数，记作 三角函数的基本性质: 从而 所以 但复指数函数 是不成立的，没有意义。 2.三角函数 由Eeler公式有 定义 为复数z的正弦函数和余弦函数。 满足： 2）在复平面内处处解析，且 3） 为奇函数， 为偶函数，并有 4） 得 令 得 即 但 事实上。 当 时， 都趋于无穷大。 定义其它三角函数： 分别称为复数z的正切、余切、正割和余割函数。 3.双曲函数 分别称为复变数z的双曲正弦与双曲余弦函数。 满足： 和 在复平面内解析，且 为奇函数， 为偶函数。 与 以 为周期的周期函数。 以上等式自己验证，不要求记。 例1 求 的值。 解法一： 解法二： 例2 解方程 解： 得 由于 代入 得 当 时， 当 时， 5 乘幂 与幂函数 设a为不为零的复数，b为任一复数，定义 多值，而 为 的主值。 1）当b为整数时，由于 这时 只有与主值相同的值。 2）当 互质 时，由于 当 时， 有m个不同的 值。除此之外， 具有无穷多个值。 例6 求 的值及其主值。 解： 其中 当 时，得主值为 取a=z,b=n得 为幂函数。 是复平面内单值解析函数。 取 为 的反函数。幂函数 为多值函数。具有n 个分支，每个分支除去原点及负 实轴处的复平面内解析，且 例7 讨论指数函数 与e的z次方的区别 一般k=0时，指数函数与幂函数相等。所以指数函数 没有幂的意思。 6 反三角函数与反双曲函数（略）。 §2.3 初等函数 将一元实变初等函数 推广为初等复变 函数 的要求： ① 当 为实数时， 有 完全与原实变函数相同。 ② 尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函 数的某些重要性质(如连续性、可导性等等) 一、指数函数 初等实指数函数 的一些重要性质： ① 处处可导且有 ② 对任意的实数 有 ③ 对任意的实数 有 现在我们将指数函数的定义域推广到整个复 数集中， 使其尽可能将这些特性保持下来。 即新 的指数函数应满足 ① 处处可导且有 ② 当 即 为实数时有 对于复数 称 为复指数函数。 性质 指数函数 在整个 平面上都有定义， 且处处解析， 导函数为 对任意的复