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B样条曲线 B样条提出背景 仅包含一段的多项式曲线不能满足造型需求 约束条件增多，Bézier造型的缺陷： Ø 次数增加 Ø 形状复杂 Ø 算法不稳定 分段的多项式函数 Ø 不能局部控制 Ø 拼接的话连续性容易产生问题 B样条的发展 1949年，Schoenberg最早提出定义在均匀节点向量上的B样 条函数理论。 B样条函数(basis) 1960年，de Boor开始研究用B样条做几何表示。之后它与 Mansfield, Cox分别独立发现了B样条的递归算法。 给出了B样条基函数的递归算法 1974年，Gordon与Riesenfeld将B样条函数推广到矢值形式， 得到了B样条函数。 从B样条函数到B样条曲线 样条函数的定义 区间 的一个分割 :a x x x b 节点 0 1 n 定义于分割上的函数 g (x)满足两条件： k次样条函数 [x,x ] Ø 在 上， g (x)是x的 k次多项式 i i1 Ø k1 g (x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数 g(x) C [a,b] 节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高 样条曲线 样条曲线：节点序列上定义的满足一定的连续性的分段曲 线 优点：局部性+。。。 B样条曲线的定义 1. B样条曲线定义 设有控制顶点P ,P ,…,P ,则k阶(k-1次)B样条曲线的数学表达式为: 0 1 n 其中：Ni,k(t)是k-1次B样条曲线的基函数； 是单调不减的节点分割。 B样条曲线的定义 2. B样条基函数的递推定义 (de Boor-Cox公式) 规定：0/0 0 B样条基函数的性质 1. 正性与局部支撑性 [t , t ]为N (t) 的支撑区间 i i+k i,k B样条基函数的性质 2. 权性 (归一性) 3.线性无关性 B样条基函数的性质 4.微分--差分公式 导数为前一次数的两个基函数的线性组合 5.r阶导数 r阶导数为前一次数的两个基函数的r阶导数的组合 B样条基函数的本质 每个基函数都是一个分段多项式 B样条曲线的类型 控制多边形的顶点为P (i 0,1…,n),阶数为k(次数为k-1) ，则节点矢量 i 是T [t ,t ,…,t ] 。 0 1 n+k 1. 均匀B样条曲线 节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度 Δi ti+1-ti 常数0(i 0,1,…n+k-