专题六立体几何综合应用.docVIP

专题六　立体几何的综合应用 立体几何的综合问题主要有两大类，即位置关系和度量关系．而位置关系主要是线面平行与垂直，联想有关定理可以有很多方法，这里给出一种，即 1．若a∥b，则(1)b∥ca∥c； (2)b⊥ca⊥c； (3)b∥αa∥α或aα； (4)b⊥αa⊥α. 2．若α∥β，则(1)β∥aa∥α或aα； (2)β⊥aa⊥α； (3)β∥γα∥γ； (4)β⊥γα⊥γ. [难点正本　疑点清源] 1．立体几何证明题是一类重要的题目类型，解答立体几何证明题必须综合条件和结论两方面的信息，充分利用已知的位置关系中的性质定理化归到结论中位置关系所需的判定定理，从而打通思路． 2．立体几何中的有关计算问题，主要是表面积和体积的计算．对于表面积和体积的计算，要充分利用公式． 1 . 如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有： ①AC⊥β； ②AC与α，β所成的角相等； ③AC与CD在β内的射影在同一条直线上； ④AC∥EF，那么上述几个条件中能成为增加条件的是________(填上你认为正确的序号)． 答案　①③ 解析　对于①AC⊥β，知AC⊥EF，∴EF⊥平面ABDC， ∴EF⊥BD，对于②不能得到EF⊥AC； 对于④不能得到BD⊥EF； 对于③知平面ABDC⊥平面β，又平面ABDC⊥α， ∴EF⊥平面ABDC，∴EF⊥BD，填①③. 2．二面角α—l—β是直二面角，aα，bβ，且a，b都不与l垂直，有下列说法： ①a与b可能垂直，但不平行； ②a与b不垂直，但可能平行； ③a与b可能垂直，也可能平行； ④a与b不垂直，也不平行． 其中正确的是________．(填序号) 答案　② 解析　二面角α—l—β是直二面角，则α⊥β， 由题意可知，a与b不可能垂直，但可能平行．故②正确． 3．m、n是空间两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题 ①m⊥α，n∥β，α∥βm⊥n； ②m⊥n，α∥β，m⊥αn∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥αn⊥β； ④m⊥α，m∥n，α∥βn⊥β. 其中，真命题的序号是________． 答案　①④ 解析　①对．因为m⊥α，α∥βm⊥β，又n∥β，∴m⊥n；②错，因为n可能在平面β内；③错，因为要说明n⊥β，需说明n垂直于β内的两条相交直线；④对，由m⊥α，α∥βm⊥β，又m∥n，∴n⊥β. 4．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题： ①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n； ②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n； ③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n； ④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n. 其中真命题的序号是__________． 答案　②③ 解析　①m，n可能异面；②正确；③正确； ④n∥α或nα，又m∥α， ∴m∥n或m与n相交或异面． 5．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连结PA、PB、PC， (1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的______点． (2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心． (3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心． 答案　(1)中　(2)外　(3)垂 题型一　线面关系的证明 例1　如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证： (1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE. 思维启迪：(1)考虑AD和平面BCC1B1的关系即可；(2)易分析知A1F綊AD. 证明　(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 又AD平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD平面ADE，A1F平面ADE， 所以A1F∥平面ADE. 探究提高　线面关系的证明要紧扣定理． 解答此类问题时，常有以下失分点： (1)不能充分挖掘所给隐含条件造成不知如何入手． (2)证明过程中步骤不规范，不严谨． (2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD