用量纲和全微分积分法的分析物体自球面顶端滑下问题.docVIP

用量纲和全微分积分法分析物体自球面顶端滑下问题 摘要：在物理教学中，常见到质点自光滑球面顶端滑下的问题．其中它所 涉及到的物理知识也比较广，有动量守恒，能量守恒，向心力，摩擦力等等．而 对于物体与球面间有摩擦的问题，又该如何分析？有什么规律呢？本文将采用量 纲分析、全微分积分法和一般方法等进行研究，并分析质点自光滑球面顶端滑下 的几种情况．以便能够使此类题目的解决方法多样化、以及该从什么地方下手和 切入进行分析有一定的了解．在增强同学的创新意识和实践能力的同时也能够充 分掌握量纲法和全微分积分法的解题思路以及技巧等． 关键词：球面顶端；量纲；全微分积分法 １ 量纲及全微分积分法的表述 1.1量纲分析 　物理量的量纲可以用来分析或检核几个物理量之间的关系，这方法称为量纲分析（dimensional analysis）。通常，一个物理量的量纲是由像质量、长度、时间、电荷量、温度。一类的基础物理量纲结合而成。例如，速度的量纲为长度每单位时间，而计量单位为米每秒、英里每小时或其它单位。量纲分析所根据的重要原理是，物理定律必需跟其计量物理量的单位无关。任何有意义的方程式，其左手边与右手边的量纲必需相同。检查有否遵循这规则是做量纲分析最基本的步骤。 推导获得的方程式或计算结果是否基本上合理，惯常可以用量纲分析来检察。对于较复杂的物理状况，量纲分析也可以用来构筑合理假定(参见关联模型)，然后，做严格的实验加以测试，或用已发展成功的理论仔细检试。量纲分析能够按照各种物理量的量纲，将它们详细分类。 任何物理方程都由物理量组成，任何物理量都有一定的量纲。 量纲有两类：一类是基本量纲，它们是彼此独立，不能互相导出的，必须人为地设定；另一类是导出量纲，由基本量纲导出。 1.2全微分积分法 在常微分方程理论的形成过程中 ,求解一阶微分方程曾出现过许多方法 ,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等。其中尤以积分因子法出现的最晚 ,而作用也最大。在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的’求解的一般方法。 2 物体自球面滑下的常见问题 【例1】如图1所示，一个质量为m的物块，在重力作用下自一半径为r的固定球面的最高点无初速度滑下。若质点与球面间的摩擦因数为μ，求质点离开球面时，它与球心的连线和竖直方向夹角θ所满足的关系？ 解析：（1）量纲分析法 质点下滑过程中，假定θ与质量m，半径r，重力加速度g，摩擦因数μ有关， 即 θ=?（m,r,g,μ） 因为θ是一个无量纲的量，因此θ与μ一个参量有关，即 θ=?（μ） （2）全微分积分法 物体下滑过程中，在球面上受重力、支持力和摩擦力，由于其速率逐渐增加，所以支持力逐渐减小直到脱离球面时减小到零。由牛顿第二定律得 法向方程 （1） 由动能定理得 ( 2) （2） 消去N得 （3） 式（3）不是全微分方程。把式（3）记为 由于与无关，故有积分因子 设形成的积分因子 以乘式（3）两端，得全微分方程 （4） 对上式积分得方程的通解为 （5） 且当t=0时，将θ=0，带入上式，可得 （6） 所求方程的通解为 （7） 质点离开球面时，N=0，由式一得 将上式带入（7）得 （8） 即θ所满足的关系 （9） 式（9）满足量纲分析得到的结论即θ只以有关。讨论：若质点与球面间无摩擦=0时得 （10） （11） 即θ所满足的关系 （12） 3 物体从球面顶点下滑的