2000年第10届澳门数学奥林匹克第1轮的试题.docVIP

第十届澳门数学奥林匹克比赛 第一轮预选题题解v2.1 比赛日期：2000年1月22日 答题时间：三小时 请回答题目1至5，每题同分 不能使用任何计算器 ? 分子小于7而分母小于60的不可约真分数共有多少个？ 解：设真分数 n/m满足题设，则整数n、m满足0nm，n7，m60，n与m互素。 用枚举法：以n=1, 2, 3, 4, 5, 6为开始： 当n=1，则2≦m≦59。总有58个真分数如1/m； 当n=2，由于m和2互素，所以m只能是奇。再由3≦m≦59，得m只能是1, 3, 5, ...., 57, 59，共59-[59/2] -1=29个。 当n=3，由于m和3互素，所以m只能是整数4至59中非3的倍数。总有59-[59/3]-2=(59-19)-2=38个。 当n=4，由于m和4互素，所以m只能是奇。再由5≦m≦59，得m只能是1, 3, 5, 7, ...., 57, 59，共59-[59/2] -2=28个。 当n=5，由于m和5互素，所以m只能是整数6至59中非5的倍数。总有 (59 - [59/55]) - 4=55-11=44个。 当n=6，由于m和6互素，所以m不能是2、3的倍数，即整数7至59中7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41,43,47,49, 53, 55, 59，总18个。 总结：满足题目的可能分数是58+29+38+28+44+18=215。 各占3分，剩下的2分是正确答案。 定义数列Sn如下：对任意的正整数n， Sn = 1+ 1? 2 + 1? 3 +...+ 1? n 。求证： 　 若m、n为自然数，则 Sn≧S m+(n-m)/n； 当n 1，S2n　 1+ n/2。 证： (i) 若n≧m，则Sn=S m+1/(m+1) +....+1/n≧S m+1/n +....+1/n=S m+(n-m)/n。 (ii) 若nm，则Sn=S m-1/(m+1) -....-1/m≧S m-1/n -....-1/n=S m-(m-n)/n 　　　　　　 =S m+(n-m)/n。　 以上各占5分。 S2n=　 1+( 1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+.....+ (1/(2n-1 +1) + 1/(2n-1 +2) +....+1/2n )　  1+(1/2)+ (1/4+1/4) +(1/8+1/8+1/8+1/8).....+(1/2n + 1/2n +....+1/2n )　 =1 +(1/2) +(1/2) + ....+(1/2)=1+n/2。 以上占10分。这个证明间接是二进制的一种表示。 (a) 若在闭区间[ 0, 3π/5]内有两个不同的实数值x满足等式 ?????? cos 2x +√ 3sin 2x=k+1，试描述k的范围。 ? 解：已知k+1=cos 2x +√ 3sin 2x=2sin(2x+π/6)，即(k+1)/2=sin(2x+π/6)。 由于0≦x≦3π/5，所以π/6 ≦2x+π/6≦π/6+π+π/30， 因此函数 sin(2x +π/6)的取值范围是　 {sin(2x +π/6) | 0≦x≦3π/5} ={ sin y | π/6 ≦y≦π +π/6 +π/30 }=[ - sin(π/6+π/30), 2]，这是个闭区间。 (注：这可以作个以1为半径的圆弧，其起点及终点的度数分别是π/6 及 π/6+π +π/30，然后向y轴作这个弧投影，其影像便是所求的取值范围。)　 以上的讨论说明：未加上任何的限制，一般地(k+1)/2只是个闭区间 [-sin(π/6+π/30),1] 。当然加上已知条件有两个实数x的解后，k+1的取值范围应该比以上的闭区间小一些。 现在分段考虑： 当1/2≦(k+1)/21，方程 sin y = (k+1)/2在开区间(π/6,π-π/6)有两个不同的解y。 当sin( π/6+π +π/30)≦(k+1)/21/2，方程 sin y = (k+1)/2在开区间 (π-π/6, π/6+π+π/30)只有一个解y。?/OL 总结：满足题目要求的k值只有1/2≦(k+1)/21，即0≦k1。 以上占10分。 ? (b) 设R为实数集，tan-1：R →(-π/2, π/2) 代表正切的反函数。 试求下列算式的值当x≠-1： tan-1 x + tan-1( 1-x? 1+x ) 。 ?解：设 A=tan-1 x，则tan A= x，及由三角和公式有tan(π/4 -A) =(1-x)/(1+x)。 如果-π/4Aπ/2，则-π/2