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目 录 第一章 偏微分方程方法 1 1.1 源头问题与当今应用 1 1.2 偏微分方程建模方法 5 1.3 案例分析 17 习题6 21 .II. 目 录 第一章 偏微分方程方法 学习目标与要求 1. 熟练掌握用微元分析法，对遵循守恒律或变分原理的现象建立偏微分方程模型. 2. 掌握偏微分方程定界问题． 3. 掌握MATLAB程序求解偏微分方程． 1.1 源头问题与当今应用 一、历史源头问题 历史源头问题之一：来自音乐审美和研究那些利用空气发声的乐器 声音都是由发音体发出的一系列频率、振幅各不相同的振动复合而成，这些振动中有一个 频率最低的振动，由它发出的音就是基音，其余为泛音，而响度较小、频率加倍的辅助音被称 为谐音. 飞利浦•拉莫（Jean-PhilippeRameau)在1726年关于乐声的和谐阐明了如下事实：一声 音的频率是基音频率的整数倍则称为乐声是和谐的. 由此激起了人们运用数学来研究乐声的和 谐问题. 1713-1714年，布鲁克•泰勒(BrookTaylor)再次研究了这一古老的主题，他导出了一根伸 张的振动弦的基频，他得到的是一个二阶常微分方程 这里 √ ，而微商， ， 是对时间取的，并且给出了 作为弦在任何 时刻的形状，这里 ， 是弦的长度.Taylor关于基频的结果(按照现代的记号)是 √ 其中 为弦的张力， ， 是单位长度的质量，而g 为重力加速度. .2. 第一章 偏微分方程方法 关于偏微分方程第一次真正意义上的成功来自于对以小提琴弦为典型代表的弦振动问题的 重新进攻. 1746年，达朗贝尔在论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，受 1727年约 翰•伯努利(JohannBernoulli)给他儿子丹尼尔•伯努利的一封信和一篇论文的启发，考虑了一 根无重量的弹性弦，在弦上等间隔的地方放置着n 个等质量的质点. 弦被当成“小珠的弦”，即 弦被看成由 个离散的、相等的、等间隔的，并且彼此间用没有重量的柔软的弹性绳相连接的 重物构成. 为了处理连续的弦，重物的数目允许变成无穷多个，同时每一个“珠子”的大小和 质量都减小，使得当“珠子”个数增加时总质量趋近连续弦的质量.Johann考虑：如果弦的长 度是 ，第 个质点的横坐标是 , （在 处的第 个质点是不动的），那么 ， . 通过分析第 个质点的力，约翰•伯努利已经证明，如果 是第 个质点的位移，则 ( ) 其中 , 是弦中的张力（弦振动时它被当作常数）， 是总质点，这些研究最终只对二 阶常微分方程的理论有贡献. 在丹尼尔•伯努利的解答中有两点失误：第一，只提位移是时间 的函数，这样一来，他的工作在数学上就停留在常微分方程的范围；第二，不提他认识到的那 些简单运动模式（泛音）可以迭加成更复杂的运动(线性叠加原理). 达朗贝尔在他的论文中，从另一个角度重新考虑了JohannBernoulli 推出的方程 ( )