【备战】高考数学高频考点归类分析不等式问题中“最值法”和“单调性法”应用(真题为例).docVIP

高频考点分析 不等式问题中“最值法”和“单调性法”的应用典型例题： 例1. （2012年福建省文4分）已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ． 【答案】(0,8)。 【考点】一元二次不等式的解法。 【解析】关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则满足Δ＝a2－4×2a0，解得0a8。 例2. （2012年福建省理5分）函数在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有，则称在[a，b]上具有性质P.设在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题： ①在[1,3]上的图象是连续不断的； ②在[1，]上具有性质P； ③若在x＝2处取得最大值1，则＝1，x∈[1,3]； ④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有． 其中真命题的序号是【 】 A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D。 【考点】抽象函数及其应用，函数的连续性。 【解析】对于命题①，设，显然它在[1,3]上具有性质P，但函数在处是不连续的，命题错误； 对于命题②，设，显然它在[1,3]上具有性质P，但在[1，]上不具有性质P，命题错误； 对于命题③，∵在x＝2处取得最大值1， ∴在[1，3]上，，即。 ∴。∴＝1，x∈[1,3]。命题正确； 对于命题④，对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有 命题正确。 故选D。 例3. （2012年北京市理5分）已知，若同时满足条件： ， 则m的取值范围是 ▲ 【答案】。【考点】简易逻辑，函数的性质。 【解析】由得。 ∵条件，∴当时，。 当时，，不能做到在时，，所以舍去。 ∵作为二次函数开口只能向下，∴，且此时两个根为。 为保证条件①成立，必须。 又由条件的限制，可分析得出时，恒负。 ∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比两根中小的那个大。 由得， ∴当时，，解得交集为空集，舍去。 当时，两根同为－2＞－4，舍去。 当时，。 综上所述，。 例4. （2012年北京市文5分）已知。若，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是 ▲ 。 【解析】（－4，0）。 【考点】简易逻辑，函数的性质。 【解析】由得。 ∵，∴当时，。 当时，，不能做到在时，，所以舍去。 ∵作为二次函数开口只能向下，∴，且此时两个根为。 为保证条件①成立，必须。 ∴m的取值范围是（－4，0）。 例5. （2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式 的解集为，则实数c的值为 ▲ ． 【答案】9。 【考点】函数的值域，不等式的解集。 【解析】由值域为，当时有，即， ∴。 ∴解得，。 ∵不等式的解集为，∴，解得。 例6. （2012年全国大纲卷理12分）设函数。 （1）讨论的单调性； （2）设，求的取值范围。 【答案】解：。 （1）∵，∴。 当时，，在上为单调递增函数； 当时，，在上为单调递减函数； 当时，由得， 由得或； 由得。 ∴当时在和上为为单调递增函数；在上为单调递减函数。 （2）由恒成立可得。 令，则。 当时，，当时，。 又，所以，即 故当时，有， ①当时，，，所以。 ②当时，。 综上可知故所求的取值范围为。 【考点】导数在研究函数中的运用，三角函数的有界性，。 【解析】（1）利用三角函数的有界性，求解单调区间。 （2）运用构造函数的思想，证明不等式。关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。 例7. （2012年全国课标卷理12分）已知函数满足满足； （1）求的解析式及单调区间； （2）若，求的最大值。 【答案】解：（1）∵，∴。 令得，。∴。 ∴，得。 ∴的解析式为。 设，则。 ∴在上单调递增。 又∵时，，单调递增； 时，，单调递减。 ∴的单调区间为：单调递增区间为，单调递减区间为。 （2）∵，∴。 令得。 ①当时，，∴在上单调递增。 但时，与矛盾。 ②当时，由得；由得。 ∴当时， ∴。 令；则。 由得；由得。 ∴当时， ∴当时，的最大值为