逼近思想与二分法.docVIP

逼近思想与二分法 摘要思想是一种基本而又重要的数学思想，灵活借助思想解题，可以避开抽象而复杂的运算，优化解题过程．的一种直观而又简单的算法，它的依据是如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么函数在区间内至少有一个零点，即至少存在一点,使得就是方程的根.具体”.但实际上，只要满足某种精度要求的近似解，进行有限步便可终止。 从算法当中，我们可以体会到二分法用到了逼近的思想,是通过不断缩小区间，使区间的中点逐渐逼近根的精确值。无限逼近的思想是高中数学的重要思想方法。 1、数学中逼近思想的应用 早在我国的三国时代，数学家刘徽就用“割圆术”求出了比较精确的圆周率。他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越逼近圆面积。于是，刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边形……，一直到正三七二边形，算出圆周率等于三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点后第四位。“割圆术”与轴围成图形的面积 。 我们可以先将轴上的区间分成等份，从各分点作轴的平行线与函数图象相交，依次连结图象上相邻的交点，构成了个梯形（其中首尾两个为三角形），用这个梯形的面积之和来近似代替所求图形的面积。但为了计算方便，也可以通过向曲线外或曲线内作矩形来近似逼近如下图： 这样，用逼近思想可求得阴影部分的面积。 在最小二乘法当中也很好的体现了逼近思想，最小二乘法的基本原理为从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差 向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即 = 从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 2、二分法是怎样体现逼近的？ 理论上二分法的过程可以无限进行下去，如同古代《墨经》所说的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.但实际上，只要满足某种精度要求的近似解，进行有限步便可终止.也就是说二分法的本质是通过“取中夹逼”的办法把所求函数的零点或方程的根“逼”到一个符合精度要求的区间内，从而得到近似答案。近些年来，由于计算机技术的发展，才使得这种方法有了很大的使用价值。 在由于和均位于区间，由绝对值的意义，容易知道。此时教科书定义了精确度的概念：若区间的长度。则为方程的近似解的精确度。 精确到是一个有效数字，我们说精确到0.01，则的近似数3.14. 文中教材上用二分法求方程的近似解时，我们经第一次计算知区间两个端点值0与0.5精确到0.1的近似值分别为0和0.5，不为同一个值，不符合题义；第二次计算后其区间两端点值0.25与0.5精确到0.1的近似值分别为0.3和0.5，不为同一值，不符合题意；第三次计算后知其区间两个端点值0.25与0.375精确到0.1的近似值分别为0.3和0.4，不为同一个值，也不符合题意；第五次其区间的两个端点值为同一个近似值，符合题意，所以需经过5次计算.但最后发现近似值0.3不在区间内似乎体现不出“夹逼”，反而给人虚化的感觉。 其实这个题目最好的解法: （1）是“精确度”为，那就使区间不断缩小直到第一次出现间距小于，这样就能更形象、直观、贴切地刻画“二分法”的“逐步逼近”的思想。 （2）是“精确到”0.1，那么此题经过3次计算后，方程的解落在区间（0.25，0.375）， 此区间的两个端点值，在给定的精确度0.1的限制下，左端点值0.25向右“逼近”0.3，右端点0.375向左“逼近”0.3，因左右“夹逼”后为同一个数值0.3，所以只需计算3次，方程的近似解就为0.3，从而大大减少“压缩”的次数。 这样更能有效地体现“二分法”的“逐步逼近”思想。 3、“二分法”的逐步逼近思想是怎样实现的？ 当前信息技术功能强大，尤其是图形计算机和数字计算机的大量使用只要输入方程的表达式，按下“求解”键，就能得到方程的精确解或近似解；同样，在“函数作图与分析功能”中，通过画出相应函数的图象，分析函数与横坐标轴的交点，也能得到方程的精确解或近似解. 作为算法体系中求方程近似解的一种重要的方法，二分法是解非线性方