讲基本初等函数图象与性质(教师).docVIP

专题 1　函数与导数、不等式 第讲1.函数的奇偶性 (1)判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,其次要考虑f(x)与f(－x)的关系. (2)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:f(x)±f(－x)＝0,＝±1. (3)奇偶函数的性质:定义域关于原点对称.f(x)为偶函数?f(x)＝f(|x|).若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)＝0. 2.函数的单调性 函数的单调性可以从三个方面理解:(1)图形刻画:函数f(x)图象上升下降;(2)定性刻画:函数值随自变量的增大而增大减小;(3)定量刻画,即定义. 3.函数的图象 函数图象关注三个方面: (1)作图:描点法和利用基本函数图象变换作图; (2)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等方面. (3)变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等. 题型一　 例1已知A、B、C为函数f(x)＝lgx图象上的三点,它们的横坐标依次为t、t＋1、t＋2(t1). (1)求证:点B在线段AC的上方; (2)将△ABC的面积S表示为变量t的函数. 【解答】 (1)设A、B、C三点的纵坐标分别为yA,yB,yC. 则yA＝lgt,yB＝lg(t＋1),yC＝lg(t＋2)(t1). 线段AC中点的纵坐标y＝＝lglg＝lg(t＋1)＝yB. 所以点B在线段AC的上方. (2)S＝×1＋×1－×2, 于是S＝＋－ ＝lg(t＋1)－lg(t1). 【点评】 图象是解决数学问题的重要工具,尤其是解决函数问题的有效手段.结合函数图象的函数类高考题是高考试题一个新的生长点.此类考题给人耳目一新的感觉. 已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且仅有两个实根,则实数a的取值范围是____________. 【解析】 本题主要考查函数的概念和性质,函数与方程的关系.关键是把f(x)＋x－a＝0化为f(x)＝a－x,再利用两个函数的交点个数与图象的关系得出实数a的取值范围.画出函数f(x)＝的图象,画出g(x)＝a－x的图象,结合图象得a≤1时,关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且仅有两个实根.实数a的取值范围是(－∞,1］. 题型二　函数的性质及应用 例2 设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈Ra为实数)． (1)若f(x)为偶函数,求实数a的值； (2)设a2,求函数f(x)的最小值． 思维启迪(1)f(x)为偶函数f(－x)＝f(x)a＝0.(2)含绝对值的函数的实质是分段函数,可以通过对x取值的分类讨论,去掉绝对值符号,得到分段函数． 解　(1)由已知f(－x)＝f(x),即|2x－a|＝|2x＋a|,解得a＝0. (2)f(x)＝ 当x≥a时,f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1), 由a2,x≥a,得x1,从而x－1,故f(x)在x≥a时单调递增,f(x)的最小值为f()＝； 当xa时,f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1), 故当1≤x时,f(x)单调递增,当x1时,f(x)单调递减,则f(x)的最小值为f(1)＝a－1. 由－(a－1)＝0,知f(x)的最小值为a－1. 【探究提高】 (1)对于偶函数可得f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；对于奇函数,若x＝0有意义,则总有f(0)＝0.(2)含绝对值的函数一般都要去掉绝对值符号,化成分段函数．(3)分段函数的单调性和最值问题,一般是在各段上分别说明,然后再合并说明． 变式 已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a0,那么该函数在(0,]上是减函数在[＋∞)上是增函数．(1)如果函数y＝x＋在(0,4]上是减函数,在[4,＋∞)上是增函数,求实常数b的值； (2)设常数c∈[1,4],求函数f(x)＝x＋(1≤x≤2)的最大值和最小值． 解(1)由函数y＝x＋的性质知y＝x＋在(0]上是减函数,在[ ,＋∞)上是增函数, ∴＝4,∴2b＝16＝24,∴b＝4. (2)∵c∈[1,4],∴∈[1,2]． 又∵f(x)＝x＋在(0,]上是减函数,在[,＋∞)上是增函数, ∴在x∈[1,2]上,当x＝ 时,函数取得最小值2 . 又f(1)＝1＋c,f(2)＝2＋, f(2)－f(1)＝1－. 当c∈[1,2)时,f(2)－f(1)0,f(2)f(1), 此时f(x)的最大值为f(2)＝2＋. 当c＝2时,f(2)－f(1)＝0,f(2)＝f(1),此时f(x)的最大值为f(2)＝f(1)＝3. 当c∈(2,4]时,f(2)－f(1)0,f(2)f(1),此时f(x)的最大值为f(1)＝1＋c. 综上所述,函数f(x)的最小值为2； 当c∈[1,2)时,函数f(x)的最大值为2＋； 当c＝2时,函数f(x)的最大值为3； 当c∈(2,4]时,函数f(x)的最大值为1＋c. 题型三　 例3 已知函数