六六节多元函数极值及其求法.docVIP

第八节 二元函数的极值 二元函数的极值 定义 极值存在的必要条件： 定理：如果函数在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有 驻点：满足 的点 注：驻点可能是极值点，极值点不一定是驻点，极值点有可能是偏导数不存在的点。 例1求的极值 例2求的极值 例3讨论是否有极值。 注：驻点不一定是极值点。 极值存在的充分条件： 定理 如果函数在点的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且是它的驻点，设 ① ，则是极大值。 ② ，则是极小值。 ③ ，则不是极值。 ④ ，需另法判断。 例4求函数 的极值。 注：极值的一般求法： ①解方程组 求出一切驻点； ②对每一个驻点，求出 ③对每一驻点，由判别式法判断。 4．多元函数最值的求法：在实际应用中，只有一个驻点，即为所求的点。 例5 要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？ 例6 某工厂生产两种产品I与II，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品I与y单位的产品II的总费用是： 求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 条件极值与拉格朗日乘数法 无条件极值：自变量x与y相互独立 条件极值：有约束条件 拉格朗日乘数法 （一） ①构造拉格朗日函数 ②解方程组 解出的可能为极值。 ③判断是否是极值，一般由具体问题判断。 （二） ①构造拉格朗日函数 ②解方程组 解出的可能为极值。 ③判断是否是极值，一般由具体问题判断。 例1 要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？ 分析： 例2 求由一定点到平面的最短距离 d 分析： 由于偏导计算复杂，为简化计算，问题转化为： 三、最小二乘法（建立经验公式的一种常用方法） 作业： 课堂练习：P336/1、2、3 习题：P120/1（1）（3）、2、3、6、7