应用概率统计 第七章.pptVIP

二、有效性 第三节 区间估计 前面，我们讨论了参数点估计。它是用样本算得的一个值去估计未知参数。但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大。区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷。 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条。 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了。 实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条。 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值。 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的 ，称为置信度或置信水平。 习惯上把置信水平记作1-α ，这里α是一个很小的正数。 置信水平的大小是根据实际需要选定的。 称区间 为θ 的置信水平为1-α的置信区间。 例如，通常可取置信水平1-α =0.95或0.9等。 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出一 个尽可能小的区间 ，使 一、 置信区间定义 满足 设θ是 一个待估参数，给定α 0，若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 和 分别称为置信下限和置信上限。 称区间 为θ 的置信水平（置信度）为1-α的置信区间。 这里有两个要求: 可见，对参数θ 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量)。 1. 要求θ 以很大的可能被包含在区间内 ，就是说，概率 要尽可能大，即要求估计尽量可靠。 2. 估计的精度要尽可能的高。如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则。 可靠度与精度是一对矛盾。 一般是在保证可靠度的条 件下尽可能提高精度。 在求置信区间时，要查表求分位点。 二、置信区间的求法 设 , 对随机变量X，称满足 的点 为X的概率分布的上α分位点。 定义 若 X 为连续型随机变量 , 则有 所求置信区间为 所求置信区间为 标准正态分布的 上 α分位点 自由度为n的 分布 的上 α 分位数 自由度为n1,n2的F分布的 上α 分位数 3/4 3 2/4 2 1/64 9/64 27/64 27/64 1/4 1 x=3 x=2 x=1 x=0 抽到白球数x p 袋中白球数m 3/4 3 8/64 24/64 24/64 8/64 2/4 2 1/64 9/64 27/64 27/64 1/4 1 x=3 x=2 x=1 x=0 抽到白球数x p 袋中白球数m 27/64 27/64 9/64 1/64 3/4 3 8/64 24/64 24/64 8/64 2/4 2 1/64 9/64 27/64 27/64 1/4 1 x=3 x=2 x=1 x=0 抽到白球数x p 袋中白球数m 27/64 27/64 9/64 1/64 3/4 3 8/64 24/64 24/64 8/64 2/4 2 1/64 9/64 27/64 27/64 1/4 1 x=3 x=2 x=1 x=0 抽到白球数x p 袋中白球数m 当p=3/4时，P{X=2}的概率最大，?估计袋中白球个数为3比较合理。 其分布律为 ，其中θ未知。 ⑴ X 为离散总体情形 为X 的样本， 为X 的样本值， 称为θ的最大似然估计量； 称为θ的最大似然估计值。 表示取到样本值 的概率 称为似然函数。 当 时，称最大似然函数。 设X1,X2,…Xn是取自总体 X~b(1, p) 的一个样本，求参数p的最大似然估计值。 例7.6 L(p)= f (x1, x2,…, xn; p ) 解：似然函数为: 对数似然函数为： 对p求导并令其为0， =0 得 即为 p 的最大似然估计值。 从而 p 的最大似然估计量为 解 似然函数为: 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X的一个样本, 求参数 的最大似然估计量。 例7.7 最大似然估计量为 (2) X为连续型随机总体情形 设X的概率密度为f(x, θ), θ未知， 为X的样本， 为样本值，则 的联合密度为 称为似然函数。 当 时，称最大似然函数。 称为θ的最大似然估计量； 称为θ的最大