自考 概率论与数理统计3.docVIP

　　　　例2.设连续函数变量X的分布函数为　　　　求：　　（1）X的概率密度f（x）;　　【答疑编号对该题提问】　　（2）X落在区间（0.3，0.7）的概率。　　【答疑编号对该题提问】　　解：（1）　　　　（2）有两种解法：　　　　或者　　　　例2－1　若　　【答疑编号对该题提问】　　解： 　　例2－2　若 求x~f(x)　　【答疑编号对该题提问】　　解： 　　　　　　　　　　　　例2－3，若　　【答疑编号对该题提问】　　解：　　例3.若 　　【答疑编号对该题提问】　　解：（1）x≤0时，f（x）=0，　　　　（2）0＜x＜1时，　　　　（3）1≤x时，　　　　　　注2.分段函数要分段求导数，分段求积分。　　例4.设某种型号电子元件的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度。　　　　现有一大批此种元件，（设各元件工作相互独立），问：　　（1）任取一只，其寿命大于1500小时的概率是多少？　　【答疑编号对该题提问】　　（2）任取四只，四只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少？　　【答疑编号对该题提问】　　（3）任取四只，四只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少？　　【答疑编号对该题提问】　　解：（1） 　　（2）各元件工作相互独立，可看作4重贝努利试验，观察各元件的寿命是否大于1500小时，令Y表示4个元件中寿命大于1500小时元件个数，则，所求概率为　 　　（3）所求概率为　　　　3.2　均匀分布与指数分布　　以下介绍三种最常用的连续型概率分布，均匀分布、指数分布和正态分布，本小节先介绍前两种。 ? 定义2.若随机变量X的概率密度为则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，简记为X~U（a,b） 　　容易求得其分布函数为　　　　均匀分布的概率密度f（x）和分布函数F（x）的图像分别见图2.3和图2.4　　 ? 均匀分布的概率密度f（x）在[a,b]内取常数 ，即区间长度的倒数。　　均匀分布的均匀性是指随机变量X落在区间[a,b]内长度相等的子区间上的概率都是相等的。　　均匀分布的概率计算中有一个概率公式。　　设，则　　 　　使用这个公式计算均匀分布的概率很方便，比如，设，则　　　　例5.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在1到3分钟内的概率。　　【答疑编号对该题提问】　　解：设X表示乘客的侯车时间，则X~U（0,5），其概率密度为　　　　所求概率为　　 ? 定义3.若随机变量X的概率密度为其中λ＞0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，简记为，其分布函数为 　　f（x）和F（x）的图形分别见图2.5和图2.6　　　　指数分布常被用作各种“寿命”的分布，如电子元件的使用寿命、动物的寿命、电话的通话时间、顾客在某一服和系统接受服务的时间等都可以假定服从指数分布，因而指数分布有着广泛的应用。　　例:若某设备的使用寿命X（小时）～E（0.001）求该设备使用寿命超过1000小时的概率。　　【答疑编号对该题提问】　　解：λ＝0.001　　 　　P（1000＜X）＝P（1000＜X＜+∞）　　＝F（+∞）－F（1000）＝1－｛1－e-1｝=e-1=　　（三）正态分布 ? 定义4.若随机变量X的概率密度为其中μ,σ2为常数，－∞＜μ＜+∞，σ＞0，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布，简记为X~N（μ,σ2） 　　f（x）的图形见图2.7　　 ? 习惯上，称服从正态分布的随机变量为正态随机变量，又称正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线。设X~N（μ,σ2），则X的分布函数为特别地，当μ＝0，σ＝1时的正态分布称为标准正态分布N（0，1）。为区别起见，标准正态分布的概率密度和分布函数分别记为，即 　　　　的图象见图2.8　　 ? 显然，的图象关于y轴对称，且在x=0处取得最大值。　　通常我们称为标准正态分布函数，它有下列性质：　　（1） 　　由定积分的几何意义及的对称性可得　　　　 　　（2）　　由（1）知 　　 　　（3）因为是X服从标准正态即X~N（0，1）时的分布函数，所以有　　当 ? 上面公式中，不等式中是否有等号并不影响公式的正确性，原因是连续随机变量X取一个数的概率为0，即P（X＝K）＝0所以下面的公式同样成立