非对称各向同性张量函数及其导数.PDF

非对称各向同性张量函数及其导数 王志乔 兑关锁∗ 北京交通大学土建学院工程力学研究所, 北京 100044 摘要：本文将分析一类满足可交换条件的非对称各向同性张量函数，此类函数包含张量多 项式、张量指数函数、张量幂级数以及能表示为Dunford-Taylor积分的非对称张量函数，较 以往研究的更具一般性。首先，由可交换性引进张量函数相对应的标量函数，给出此类非 对称各向同性张量函数两种表示形式；然后，分别利用求解张量方程的方法和比较分量的 方法给出此类非对称张量函数导数的不变表示。在二或三重特征根时，利用求极限的办法 给出此类张量函数及其导数的表示形式。 关键词：非对称张量 张量函数导数 标量函数 各向同性 引言 非对称张量函数在弹塑性大变形理论和计算研究中的重要性，最近几年 逐渐受到人们的重视。例如各向异性弹塑性或粘塑性的有限元处理中的速度 梯度指数函数的计算[1,2] 。关于非对称张量值函数及其导数的文献只是研究 [3] [4] [4] 了张量多项式 、张量指数函数 、张量幂级数 以及能表示为Dunford- [5] Taylor积分的非对称张量函数 。本文将研究满足下面可交换条件的一类非 对称各向同性张量函数 F A A AF A . (1) ( ) ( ) 此类张量函数比以往研究[3-5] 的范围要大很多。 1 非对称二阶张量的广义谱分解 令A 为一实非对称二阶张量，λ 和v (i 1,2,3)分别为A 的特征值和特 i i 征向量. 因为AT 和A 具有相同的特征方程，所以它们具有相同的特征值。 % T 令v 为与λ 所对应A 的特征向量, 则 i i T % % % Av =λv , A v =λ v , v ⋅v 0 if =λ ≠λ . (2) i i i j j j i j i j ˆ 定义A 的对偶向量v ,其满足 i ∗ email: gsdui@center.njtu.edu.cn 1 ˆ % % ˆ v v (v =⋅v ) v ⋅v =δ i, j 1, 2,3. (3) i i i i i j ij 本文只考虑三个特征根均为实数的情况。A 有如下谱分解形式[3,7,8] ⎧3 ∑λE , λ ≠λ ≠λ ≠λ , ⎪ i i 1 2 3 1 ⎪⎪i 1 A E I E H