描绘三次函数的图形.DOC

§三次函數的圖形 主題1：描繪三次函數的圖形 1.若想知道函數的極值所在﹐則必須先找出臨界值﹐即解方程式＝0；找到臨界值後再由一﹑二階導函數檢定出是否有極值，而函數圖形的凹向代表圖形彎曲的方向，這可由二階導函數的正負來決定。＝，其中，，＝，＝，由＝0﹐解出＝－，點是三次函數圖形的唯一一個反曲點﹐原因是＝的值在＝－的左右會變號﹐且函數圖形的凹向非常清楚，如下： 3.三次函數圖形的凹向： 對三次函數 ＝，其中，， (1)當a＞0時：若x＞－﹐則＞0， 即函數圖形凹向上 若x＜－﹐則＜0 即函數圖形凹向下。 (2)a＜0時：若x＞－﹐則＜0 即函數圖形凹向下； 若x＜－﹐則 即函數圖形凹向上。 ＝0得出方程式 ＝0，是一實係數二次方程式，實數解的個數可能是2或1或0﹐表示臨界值有2個或1個或0個﹐現在依臨界值的個數討論： (一)＝0沒有實數根，則： D＝＝＜0﹐ 因此有下面的結論： (1) 當a＞0且＜0時 ＞0恆成立 函數是遞增函數。 (2) 當a＜0且＜0時 ＜0恆成立 函數是遞減函數。 (二)＝0有重根α﹐這發生在＝0的情況﹐因此 ＝，＝，是反曲點的坐標﹐當時，是恆正或恆負，而得到類似於(一)。 (1)＞0且時 ＝＞0 函數在區間，都是遞增函數 因此是上的遞增函數。 (2) 當＜0且時 ＝＜0 函數 f（x）在區間，都是遞減函數 因此 f（x）是上的遞減函數。 是一反曲點，凹向情形如前所述，這時的函數圖形在有一水平切線。 (三)＝0有兩個相異實根，設，＝＝，由根與係數的關係知＝－，且＜－＜，但＝，這表示反曲點的坐標是兩臨界值的平均值，又 ＝，＝，而有下面兩種情形： (1) 當＞0時 ＜0且＞0 因此 是極大值，是極小值。 (2) 當＜0時 ＞0且＜0 因此是極小值，是極大值。 ※重要範例 1. 試求實係數三次函數恆為遞減函數的條件. 【解答】 . ,恆為遞減的充要條件為恆成立,則. 隨堂練習為遞減函數, 試求a的範圍. 【解答】 . , 又為遞減函數, ,且且, 且. 2. 設, 若對任意實數x, 為嚴格遞增函數, 試求a值的範圍. 【解答】 . ,因為為嚴格遞增函數, ,所以, , 即,則其判別式小於0,故. 3. 函數, 在時, 有極大值85, 在時, 有極小值, 且為其反曲點, 試求數對. 【解答】 . , ,因在時, 有極大值85, 在時, 有極小值, 且為其反曲點,則, 即,所以, , 於是得,又, ,則, 解得, ,即, 故數對. 隨堂練習在處有相對極大值為4, 而是它的一個反曲點, 試求, , , 的值. 【解答】 , , , . ,,(1)為反曲點, 則.(2)在處有相對極大值為4, 則, ,故, , , . 4. 函數沒有極值, 試求實數k的範圍. 【解答】 . ,因沒有極值, 所以的判別式,故. 5. 試求函數圖形的對稱中心 【解答】 . , ,若, 故為反曲點,則圖形的對稱中心就是其反曲點. 6 若函數, 試問：(1)討論函數的凹向性.(2)的反曲點.(3)的極值. 【解答】 (1)在及凹向下, 在凹向上. (2), 為反曲點. (3)為極大值. (1),  則, ,  故在及凹向下, 在凹向上.(2)由, 知, , 但時, , 故, 為反曲點.(3)時, , 故為極大值. 隨堂練習, 試問：(1)討論函數的凹向性.(2)的反曲點.(3)的極值. 【解答】 (1)在及凹向上, 在凹向下. (2)點及點均為反曲點. (3)為極小值. (1), 則, ,  故在及凹向上, 在凹向下.(2)點及點均為反曲點.(3)為極小值. 7. 討論函數的凹向性. 【解答】 在凹向上, 在凹向下. , 則, ,故在凹向上, 在凹向下. 8. 四次函數其圖形如右, 試判斷, , , , 的正, 負. 【解答】 , 為正, , , 為負. (1), 則.(2), 則, .(3), 又, 凹口向上, 則.(4)的圖形與軸交於負向, 則,故, , , , . 9. 試作函數的圖形. 【解答】 , 則, ,列表顯示及值的正, 負及的遞增, 遞減與圖形的凹向如下,作圖如下. 10. 試描繪函數, 並求的相對極值及反曲點. 【解答】 極大值17, 極小值, 反曲點. ,,其圖形如右,(1)在處有相對極大值17, 在處有相對極小值.(2)反曲點為. 11. 三次函數,其圖形如右,, 試判斷, , , 及的正, 負或零. 【解答】 , , , 及均為正. (1), 則.(2), 其中, , 則, , 即, .(3)的圖形交軸於正向, .