挖掘过程的理论分析-中国力学学会.DOC

橡胶材料本构关系的矩阵展开 栾广博1，王水林1，那景新2 (1. 中国科学院 武汉岩土力学研究所，湖北 武汉 430071；2. 吉林大学汽车学院，吉林 长春 130025) 摘要：橡胶材料因其具有大变形弹性的特殊性质在工业的许多部门日益得到广泛的应用，所以正确理解橡胶材料的本构关系以及变形理论变得尤为重要。橡胶的变形属于有限变形，本构关系通常是基于应变不变量的函数形式，这与通常的应力是应变的函数的本构关系有很大不同。在编制橡胶的有限元程序时，这会带来很大的不便。针对这种情况，以张量分析及非线性弹性理论为基础，在T.L法的框架下，对基于应变能函数的本构关系展开成矩阵形式做了一般的讨论。 关键词：橡胶；大变形.；应变能；应变不变量；T.L法 中图分类号： 文献标识码： 文章编号 The matrix form of rubber constitutional laws based on tensor Luan Guangbo，Wang Shuilin (Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan，Hubei 430071，China) Abstract：subject to finite deformation,and its constitutional laws are functions of strain invariants,which are different from the usual forms in which stress is the function of strain.This condition will give us inconvenience when we wirte FEM programmes of rubber.In view of that, based on tensor analysis and nonlinear theory of elasticity, it is discussed to expand the strain energy function into matrix form under T.L method. Key words：；； (1) 其中为第二类Piola_Kirchhoff应力张量； 为Green应变张量；为应变能函数，不随坐标系的变化而变化，再由于弹性大变形材料的变形状态与加载历史无关，因此是能够描述变形状态的某一物理量的函数，通常选择右Cauchy_Green变形张量作为其自变量，而满足对称性、正定性。最后，根据橡胶的各向同性性质以及对称张量的标量函数为各向同性的充分必要条件是该对称张量的三个主不变量的函数[6]，即，、、都是的三个主不变量。根据Green应变张量的定义[4]，有 (2) 所以根据张量函数导数的链式法则[6]有 (3) 上式中包含了的不变量、、对的导数，根据张量的不变量的导数公式[6]有 (4) (5) (6) 将(4)、(5)、(6)三式代入(3)式中并整理得 (7) 3增量形式的本构关系 3.1 体积不可压缩条件的处理 不可压缩条件相当于I3=1，这个等式是变形过程中的约束条件，在非线性连续介质力学中称其为内约束[7,8]。这时，由于，则=，应变能函数形式相对简化，变成了仅为I1和I2的函数。虽然应变能函数形式变得简单，但是并不能直接代入(7)式以求得Piola-Kirchhoff应力，这是因为在不可压缩约束条件下应力含有‘非确定应力’[8]，一般称其为流体静压，流体静压不能通过运动历史来确定，而只能通过场方程和边界条件加以确定。在引入流体静压后的本构关系变成下面的形式 (8) 如果求增量的本构关系，可以直接对(8)式求微分，也可以采用修正的应变能形式[9]，然后利用(7)式求得增量的本构关系。 3.2 增量本构矩阵的推导 在推导本构矩阵之前，有必要简要说明一下T.L法[9]的基本思想。T.L法是以初始构型做为参考构型，把变