总能量守恒与辛几何算法大气科学和地球流体力学数值模拟国家.PDF

第 20 卷 第 1 期 中 国 科 学 院 研 究 生 院 学 报 Vol. 20 　No. 1 2003 年 3 月 Journal of the Graduate School of the Chinese Academy of Sciences Mar. 2003 简 报 总能量守恒与辛几何算法 季仲贞　王　斌 赵　颖 杨宏伟 ( 中国科学院大气物理研究所大气科学和地球流体力学数值模拟国家重点实验室,北京 100029) ( ) 2002 年 1 月 8 日收稿;2002 年 3 月 22 日收修改稿 摘　要 　以正压大气原始方程为例子, 以总能量守恒为主线,介绍动力保守系统两类重要算法 ———总能量守恒算法和辛几何算法 ,讨论了两者之间的关系 ,并给出具体的算例 ,说明两类算法 的有效性. 关键词 　大气海洋方程 ,保守系统 ,总能量守恒 ,Hamilton 系统 ,辛格式 　　中图分类号 　P433 1 　引言 　　在忽略摩擦和外源强迫的条件下 ,大气可视为一个保守系统. 把地球大气作为一个整体 ,研究其整体 性质是十分重要的. 通过这些整体性质 ,既可以简单而清晰地揭示出外界因子对整个大气运动的基本影 响 ,又可以推出大气运动内部各物理量之间的最一般的关系 ,从而揭示出有关大气运动的最基本的性质. 在文献[1 ] 中 , 曾庆存详细地论证了全球大气运动在不考虑强迫和摩擦的情况下,具有若干重要的整体性 质 ,即其总能量、总质量、总涡度、总拟能及总角动量是守恒的. 然而 , 当人们做具体的气候数值模拟或数 值天气预报时 ,不可避免地要采用近似的计算方法. 根据当代计算方法研究的一条不成文的基本法则 ———问题原型的基本特征在离散化后 ,应尽可能地得到保持[2 ] ;否则 ,就会给我们的物理系统引入虚假的 外来影响 ,或者使最基本的物理定律遭到破坏. 那时 ,就不可能期望得到较准确的气候模拟和天气预报结 果了. 　　正是基于以上考虑 ,尤其是针对大气海洋方程的非线性和复杂性特征 ,为了保证其数值计算能长时 间进行下去 ,计算稳定性、计算准确性和计算省时性成了 3 个需同时关注的重要问题[3～5 ] . 大量的理论分 析和数值实验结果表明 ,保持总能量守恒是整个问题的一个重要关键. 过去的实践 , 已使我们形成了一套 ( 总能量守恒的算法 ,针对不同类型的问题相应地构造了各自的保持总能量守恒的差分格式 在线性情形 和若干简单情形就是所谓的平方守恒格式) . 实践证明 ,这些格式总的计算效果是良好的[5～11] . 　　另一方面 , 由于一切守恒的物理过程都可表达成 Hamilton 系统. 为解决 Hamilton 系统的数值计算问 题 ,冯康提出了一套新的思想和算法 ———辛几何算法[2 ] . 至今该算法对于常微分方程来说已有较完善的 理论 ,而对于偏微分方程来说 ,也已取得很大进展[12 ,13 ] . 采用辛算法不仅可以保证长期的计算稳定性 ,而 且在一定条件下可以证明原系统及其离散后的系统有 ( ) ( ) 或近似有 多个不变量 或守恒性 . 下面 ,我们就 以正压大气原始方程为例子,具体阐述上述两类计算格式的构造方法及格式的总能量守恒性. 2 　正压大气原始方程及其总能量守恒算法 　　在忽略摩擦和外源强迫条件下 ,球坐标下的正压大气原始方程可写为 : ( ) ( ) ( ) 国家重点基础研究发展规划项目 G1999032801 , 国家杰出青年科学基金项目和国家自然科学基金共同资助 © 1994-2007 China Academic Jo