导函数的应用函数的递增与递减1判别定理递增递减设f.DOC

　函數的遞增與遞減 1.　判別定理 ( 遞增、遞減 )： 　　設f (x)為區間〔a , b〕上一次以上的多項式函數， (1)　若f ′ (x) ≥ 0對所有x∈( a , b ) 均成立，則f (x)在( a , b )上是遞增(嚴格遞增)函數；反之，若f (x)在( a , b )上是遞增(嚴格遞增)函數，則f ′ (x) ≥ 0對所有x∈( a , b ) 均成立。　 (2)　若f ′ (x) ≤ 0對所有x∈( a , b ) 均成立，則f (x)在( a , b )上是遞減(嚴格遞減)函數；反之，若f (x)在( a , b )上是遞減(嚴格遞減)函數，則f ′ (x) ≤ 0對所有x∈( a , b ) 均成立。 1.　試討論f (x)＝x3＋3x2－9x＋4的遞增與遞減的區間。 　　　： f (x)＝x3＋3x2－9x＋4， f ′ (x)＝3x2＋6x－9　　 ＝3 ( x2＋2x－3 )　　 ＝3 ( x＋3 ) ( x－1 )，當x＜－3時，f ′ (x)＞0，故f (x)在 (－∞,－3)為遞增函數。當－3＜x＜1時，f ′ (x)＜0，故f (x)在(－3 , 1)為遞減函數。當x＞1時，f ′ (x)＞0，故f (x)在(1 , ∞ ) 為遞增函數。 2.　試討論f (x)＝x4－x3的遞增與遞減的區間。 　　　： f (x)＝x4－x3， f ′ (x)＝x3－3x2　　 ＝x2 ( x－3 )， 當x＜3時，f ′ (x)＜0，故f (x)在 (－∞, 3)為遞減函數。當x＞3時，f ′ (x)＞0，故f (x)在(3 , ∞ ) 為遞增函數。 2.　均值定理： 　　設f (x) 為區間〔a , b〕上的多項式函數，則在區間 ( a , b ) 中至少存在c滿足f ′ (c)＝。 f (x)＝x2＋1，求在 ( 1 , 3 ) 中找一個c，使得f ′ (c)＝。 　　：∵ f ′ (x)＝2x　∴ f ′ (c)＝2c，　2c＝＝＝4∴ c＝2。 ：表示過 ( 1 , f (1) )，( 3 , f (3) ) 割線的斜率，f ′ (2) 表示在x＝2的切線斜率。所以在 (1 , 3 ) 間存在一點，使得它的切線斜率正好是割線的斜率。 　函數圖形的凹向性 1.　設f (x) 為區間I上的多項式函數，此處區間I可為區間(a , b)， (a , ∞ )， (－∞, b ) 或 (－∞ , ∞ )， (1)　若f ′ (x) 在區間I上為嚴格遞增函數，則我們稱f (x) 在區間I的圖形是凹口向上。 (2)　若f ′ (x) 在區間I上為嚴格遞減函數，則我們稱f (x) 在區間I的圖形是凹口向下。 2.　定理 ( 凹向性檢驗 )： 　　設f (x) 為區間I上二次以上的多項式函數，此處區間I可為區間 (a , b)， (a , ∞ )，(－∞, b ) 或 (－∞ , ∞ )。 (1)　若對於區間I中，f ′′ (x) ≥ 0恆成立，則f (x)在區間I的圖形是凹口向上；反之，若f (x)在區間I的圖形是凹口向上，則f ′′ (x) ≥ 0在區間I中恆成立。 (2)　若對於區間I中，f ′′ (x) ≤ 0恆成立，則f (x)在區間I的圖形是凹口向下；反之，若f (x)在區間I的圖形是凹口向下，則f ′′ (x) ≤ 0在區間I中恆成立。 1.　討論函數f (x)＝x4－2x3－12x2－x＋1的凹向性。 　　　： f (x)＝x4－2x3－12x2－x＋1， f ′ (x)＝4x3－6x2－24x－1， f ′′ (x)＝12x2－12x－24＝12 ( x2－x－2 )，令f ′′ (x)＝0，12 ( x2－x－2 )＝0 ? ( x－2 ) ( x＋1 )＝0 ? x＝－1或2， 當x＜－1時，f (x)凹口向上。當－1＜x＜2時，f (x)凹口向下。當x＞2時，f (x)凹口向上。 2.　討論函數f (x)＝x3－2x2＋x＋1圖形的遞增、遞減與凹向性。 　　　： f (x)＝x3－2x2＋x＋1， f ′ (x)＝3x2－4x＋1， f ′′ (x)＝6x－4，令f ′ (x)＝0 ? 3x2－4x＋1＝0 ? ( 3x－1 ) ( x－1 )＝0， 當x＜時，f (x)在(－∞ , )為遞增區間。當＜x＜1時，f (x)在( , 1)為遞減區間。 當x＞1時，f (x)在(1 , ∞ ) 為遞增區間。令f ′′ (x)＝0 ? 6x－4＝0 ? x＝， 當x＜時，f (x)凹口向下。 當x＞時，f (x)凹口向上。 　反曲點 ▲　若函數f (x)在a點附近的圖形，x＜a時與x＞a時的圖形凹向相反，則稱