矩阵的初等变换与线性方程组(考研资料).docVIP

? 第三章　矩阵的初等变换与线性方程组 ? 1．把下列矩阵化为行最简形矩阵： (1)　; (2)　; (3)　; (4)　. ? 解　(1)　 ? (2)　 (3)　 ? (4)　 ? 2．在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶 子式? 解　　在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等 于0的阶子式. 例如， 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式. ? 3．从矩阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样? 解 设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得 到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于， 故而. ? 4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是, 解　　设为五维向量,且, ,则所求方阵可为秩为4,不妨设 取 故满足条件的一个方阵为 ? 5．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式： (1)　; (2)　； (3)　. ? 解　(1)　 二阶子式． (2) . 二阶子式． (3) 秩为3 三阶子式． ? 6．求解下列齐次线性方程组: (1)　 (2)　 (3) (4) 解　(1)　对系数矩阵实施行变换: 即得 故方程组的解为 ? (2)　对系数矩阵实施行变换: 　即得 故方程组的解为 ? (3)　对系数矩阵实施行变换: 即得 故方程组的解为 ? (4)　对系数矩阵实施行变换: 即得 故方程组的解为 ? 7．求解下列非齐次线性方程组: (1) (2) (3) (4) ? 解　(1)　对系数的增广矩阵施行行变换,有 而,故方程组无解． ? (2)　对系数的增广矩阵施行行变换: 即得亦即 ? (3)　对系数的增广矩阵施行行变换: 即得　即 ? (4) 对系数的增广矩阵施行行变换: 　 即得　即 ? 8．取何值时,非齐次线性方程组 (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解? 解　(1)　,即时方程组有唯一解. ? (2)　 由 得时,方程组无解. ? (3)　,由, 得时,方程组有无穷多个解. ? 9．非齐次线性方程组 当取何值时有解？并求出它的解． ? 解　 方程组有解，须得 当时,方程组解为 当时,方程组解为 ? 10．设 问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解 时求解． 解　　 当,即　且时，有唯一解. 当且，即时，无解. 当且，即时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为 原方程组的解为 () ? 11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵： (1)　; (2)　. 解　（1） 故逆矩阵为 (2)　 故逆矩阵为 ? 12．(1)　设,求使; (2) 设,求使. 解 (1) (2) ． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 6 1 2 6 3 1 1 1 0 ` 1 0 2 2 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 ~ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 4 3 3 0 2 3 2 2 1 4 5 3 3 3 4 3 1 1