克拉玛公式.DOC

§3(3 克拉瑪公式 (甲)二元一次聯立方程組 (1)解二元一次方程組：，x,y是未知數，我們使用代入消去法解之(1)(b2((2)(b1 ((a1b2(a2b1)x=(c1b2(c2b1)(1)(a2((2)(a1 ((a2b1(a1b2)y=(c1a2(c2a1) (可得，(=，(x=，(y=。當((0，(x,y)=( , ) [兩直線交於一點]當(=(x=(y=0，方程組有無限多解。[兩直線重合]當(=0，而(x、(y有一不為0時，方程組無解。[兩直線平行] 試就a值討論的解。Ans：若a(1且a(5，則(x,y)=(,)；若a=1，則(x,y)=(3(t,t)，t(R 若a=5，則無解。 就k值討論方程式的解：。Ans：k(1，k=1時，有無限多組解，當k= 時，無解。 (乙)三元一次聯立方程組 (1)推導克拉瑪公式： 考慮三元一次方程組，x,y,z為未知數，使用代入消去法解之：由(1) (b1y+c1z=(a1x+d1，(2) ( b2y+c2z=(a2x+d2由二元一次方程組之求解可知 y=， z= y= ( x+……………..(4) z= x(……………..(5) 將(3)( 得a3x+b3y+c3z=d3………(6)(4)(5)代入(6)，y,za3x+b3(( x+)+c3( x()= d3整理之後得(a3(b3+c3)x=d3(b3+c3 ……..(7)觀察(7)式，等號左端x的係數中，將a1,a2,a3分別換成d1,d2,d3及成為右端的式子，a3(b3+c3=d3(b3+c3=因此(7)可改寫成x=同理若令(=，(x=，(y=，(z=結論：(a)若(0，則方程組恰有一解：。[克拉瑪公式] (b)若(====0，則方程組無解或無限多解。 (c)若=0，、、有一不為0，則方程組無解。(2)聯立方程組解的幾何解釋：三元一次方程組，我們將三個方程式視為空間中的三平面，因此我們可以討論三個平面的相交情形與解的關聯。設=(a1,b1,c1)、=(a2,b2,c2)、=(a3,b3,c3)(a)(=的解釋： (= =a1(b1+c1= a1+b1+c1 =(a1,b1,c1)((，，) =((()((==((()(1()當(=0 ( ((()=0若(=，則表示//，此時E2與E3互相平行或重合。 E1=E2=E3 ((====0，無限多解) E1//E2=E3((====0無解)  E1與E2(E3)交於一直線((=(x=(y=(z=0，無限多解) E1//E2//E3((=(x=(y=(z=0，無解)  E1與E2、E3相交成兩平行線((=0，(x、(y、(z有一不為0，無解) 若((，則((()，因為((代表E2與E3交於一直線L，且 其方向向量為(，此時因為((()，所以L與E1平行或重合。 E1、E2、E3三平面交於一直線((=(x=(y=(z=0，無限多解)E1、E2、E3兩兩交於一直線，三直線互相平行((=0，(x、(y、(z有一不為0，無解)(2()當((0 ( ((()(0 ( ((且與(()不垂直 所以E2與E3交於一直線L，且其方向向量為(，此時因為與(() 不垂直，所以L與E1交於一點。 E1、E2、E3三平面交於一點(((0，恰有一解)(3)齊次方程組： 至少會有(0,0,0)的解，所以 (a)若(，則齊次方程組只有一組解(0,0,0)。 (b)若(=0，則齊次方程組除了(0,0,0)之外，尚有其他的解。 說明下列各方程組所表示的平面相交的情形(1) Ans：三平面相交於一點((1,2,0)(2) Ans：兩面平行，另一面交兩線(3) Ans：三平面兩兩相交於一直線且三交線不共點 試就實數a之值討論方程組的解：Ans：(1)a(3且a(4且a(7時，有唯一解(x,y,z)=(,,) (2)a=3時，有無限多組解(x,y,z)=(,t,t) (3)a=4時，有無限多組解(x,y,z)=(t,t,1() (4)a=(7時，無解 若(及(為二實數，且聯立方程組有二組以上的解，則(之值為 ，(之值為 。Ans：( =2，( =(1 (84 社) 方程組有異於(0,0,0)之解，a= 。Ans：0,3 已