主题1利用倒数概念.DOC

顛倒相乘 國立台南大學應用數學系 謝 堅 筆者將分數除法區分為包含除類及等分除類兩類問題，分別提供一些引入顛倒相乘的解題策略，並嘗試將這些解題策略落實到教學設計的層次，幫助教師或家長能引導學童學會顛倒相乘的解題步驟，並掌握教學時應注意的事項。 (一)包含除類的問題： 包含除問題：公升果汁，公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？ 接下來以上面的包含除問題為例，透過「被除數和除數同時換單位策略」，「單位量轉換策略」和「倒數策略」等三種策略，分別說明如何引導學童利用顛倒相乘解決沒有餘數的分數除法問題。 策略甲：被除數和除數同時換單位策略 下面分成三個部份來說明被除數和除數同時換單位策略的意義：第一部份透過「被除數及除數同時換成以公分母為單位」的方法，幫助學童經驗並察覺可以利用顛倒相乘解決分數除法的現象；第二部份限制學童使用「被除數及除數同時換成以除數的單位分數為單位」的方法，檢查學童是否理解被除數和除數同時換單位的意義；第三部份改布有餘數的包含除問題，檢查學童是否理解「顛倒相乘」的使用時機及其意義。 (1)被除數及除數同時換成以公分母為單位 當學童已有解「整數除以整數，答案是分數」包含除問題的經驗，以及「被除數和除數同時換單位」的解題經驗後，教師或家長們可以透過下面四個步驟，透過畫蛇添足引入顛倒相乘的方法解決分數除法問題。 步驟1：公升果汁，公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？ 1.步驟1是被除數和除數為同分母分數的包含除問題，請限制學童使用「被除數和除數同時換成以公升為單位」的方法解題。 2.如果學童無法將問題改寫成「14個公升，3個公升裝成1瓶，全部裝完，相當 於裝成幾瓶？」，教師或家長可以先稱公升的果汁為1罐(或其它適當的量詞)，幫 助學童將公升果汁視為14罐，公升果汁視為3罐，就可以將問題改寫成 「14罐果汁，3罐裝成1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？」。 3.學童可以利用算式「14÷3＝」，算出相當於裝成瓶。 步驟2：公升果汁和35分之幾公升果汁一樣多？ 1.步驟2是擴分的問題，目的是為了學童能自發性解決步驟3的問題舖路，提醒學童可以透過約分或擴分，將異分母分數的除法問題改寫成同分母分數的除法問題。 2.學童可以透過擴分，得到＝＝。 步驟3：公升果汁，公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？ 1.步驟3是被除數和除數是異分母分數的包含除問題，學童可以利用步驟2擴分的經驗，透過通分將問題改寫成被除數和除數是同分母分數的包含除問題「公升果汁，公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？」。 2.學童可以利用步驟1的解題經驗，將上面的問題再改寫成整數除以整數的除法問題 「287個公升果汁，20個公升裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？」， 或「287罐果汁，20罐裝1瓶，全部裝完，相當於裝成幾瓶？」。 3.學童可以利用算式「÷＝287÷20＝」，算出相當於裝成瓶。 步驟4：透過畫蛇添足的方式，幫助學生發現，也可以透過顛倒相乘的方式得到答案。 　　 　 ÷＝÷ (通分) ＝(41×7)÷(4×5) (被除數及除數同時以換單位) ＝ (得到答案) ＝ (利用乘法交換律改記分母) ＝×(幫助學生發現，透過顛倒相乘的方式也能得到相同的答案) 1.學童成功的解決步驟3的問題後，不易自行發現利用顛倒相乘也可以算出相同的答案 ，教師及家長們必須透過步驟4，幫助學童察覺利用顛倒相乘也可以算出相同的答案。 2.步驟4只幫助學童觀察「÷」和「×」的答案相同，並沒有說明為什麼 可以利用顛倒相乘的方法算出答案。 3.步驟4的每一個算式都不能算出兩數相乘或相除的結果，例如不能將「41×7」記成「287」，算出算式的乘積後就看不到最後的答案和原問題之間的關係。 4.這種引入顛倒相乘的方式是國小學童比較容易理解的方法，也是多數國小課程引入顛倒相乘的方法。 5.多數國小課程都省略了步驟1及步驟2，建議家長及教師們一定要先進行這兩個步驟的教學活動，讓學童有自行解決步驟3的機會。 (2)被除數及除數同時換成以除數的單位分數為單位 當學童已有利用「被除數及除數同時換成以公分母為單位」解題的經驗後，可以要求學童將被除數和除數同時換成以除數的單位分數()為單位，檢查學童是否理解被除數和除數同時換單位的意義。教師或家長可以透過下面3個步驟進行教學，也可以省略第1個步驟，由步驟2開始教學。 步驟1：3公升是由3個1公升合起來，公升是由多少個1公升合起來？ 1.如果學童無法解題，教師或家長可以透過下面的問話幫助學童： 問話1：3公升是3個1公升合起來的，0.6公升是由0.6個1公升合起來的，所以3.6公升是由3個和0.6個1公升合起來的，也就是由幾個1公升合起來的。 學童回答3.6公升是由3.6個1公升合起來的