碳纳米管微极连续介质模型.DOC

碳纳米管微极连续介质模型 陈焕， 胡更开( 北京理工大学理学院力学系，100081 (Email: hugeng@bit.edu.cn Tel: +86-10摘要： 根据碳纳米管的特殊结构，提出一种连续介质模型：即微极连续介质模型，该模型考虑了碳纳米管微结构的影响。新模型能解释碳纳米管的弯曲刚度具有尺度效应这一现象，并在高频振动时考虑转动惯量和剪切变形产生的影响。 关键词： 碳纳米管 连续模型 微极理论 1 引言 从1991年Iijima教授[1]发现碳纳米管以来，其完美的结构，优异的力、电、磁、化学性能受到各个领域学者的关注。由于实验和计算机模拟的局限性，连续介质力学很早就被用于描述碳纳米管的力学性能，但该理论并非合适的工具：纳米尺度下物体表现为离散结构，不符合连续介质力学物质连续的基本假设。因此相继出现改进的连续介质模型[2]，和基于分子力学方法的模型[3]，这些模型虽然一定程度上能较好描述碳纳米管的力学行为，但是它们形式不一，且不能形成完整的理论系统。 传统的连续介质力学方法仅是对具有微结构材料的一阶描述，不包含任何物质微结构信息。为了更好地考虑材料所具有的微观结构特性， 一系列高阶连续理论被发展起来[4，5]，微极连续理论就是其中一种。自从被Voigt [6] 提出以来，微极连续理论获得深入地研究和广泛地应用，是高阶理论体系中最简单的情形，形式优美且理论严谨，在该理论框架中任何一个质点被赋予6个自由度，包括三个位移和三个刚性转角自由度。微极连续理论被认为是描述含蜂窝或网格结构材料的适当工具，碳纳米管的结构恰恰呈现出蜂窝状，因此我们提出一种碳纳米管连续模型：即微极连续模型，进而运用微极理论来描述碳纳米管的力学行为。 2 碳纳米管的一种新连续模型：微极连续介质模型 根据碳纳米管的特殊形状，建议直接使用石墨的弹性模量，即忽略一片石墨卷曲成纳米管过程中原子结构的变化。对于平面问题而言，这是一个很好的近似。接下来，分两步说明石墨连续化为微极连续介质的过程：结构力学模型和微极连续介质模型。 图1 （a）石墨卷曲成纳米管；（b）石墨等效为微极连续介质 2.1 结构力学模型 首先介绍研究石墨（碳纳米管）的一个重要途径：分子力学方法[7]，它是指在波恩-奥本海默近似下，忽略原子的电子结构，将系统能量表达为与原子核位置相关的经验势能函数。在分子力学中，系统的总能量可表达为各分项之和（忽略非键和能）： 其中,， 分别表示与碳碳键键长变化、键角变化、键的扭转变形、键的离面变形相关的键和能；采用其最简单最广泛的协和函数形式为： ，， 其中，，为与各种变形相关的力常数，，，分别为键长变化， 键角变化，键的扭转角变化 。 对于石墨片层，还可假设碳原子之间由细杆连接，碳原子为铰点，每根细杆有其特定的长度和角度。用细杆的拉伸，弯曲以及扭转来描述碳原子之间相互作用，即把原子（分子）间的化学作用等价成为一个结构力学模型（图2）。根据传统力学公式，可以得到与拉伸，纯弯曲，纯扭转相关的各个应变能： ,, 其中为杆（碳碳键）长度 （1.421 ?），, ，分别为杆拉伸长度变化， 杆弯曲时角度变化以及扭转时角度变化 。, 和为与杆的性质相关的三个截面参数。根据能量等效的原则，两种模型中各项相应能量应该相等，从而可建立结构力学模型与分子力学方法之间的联系： 图2 碳纳米管的结构力学模型 即确定了结构力学模型中杆单元的三个截面参数。实际上，Li 和 Chou [8]，Odegard [9]等都采用过这样的方法来建立碳纳米管的连续模型，但是他们只能通过有限元方法来模拟碳纳米管的力学行为，无法给出理论分析， 本文则可运用已成熟的微极理论描述碳纳米管的力学行为。 2.2 微极连续介质模型 微极介质连续化方法大多基于能量原则，也有一些学者采用分析代表单元结构的方法来获得材料本构关系，从而实现材料的连续化。Warren和Byskov[10] 最近提出一种二维的微极连续介质模型，他们证明对于含三折对称结构（比如三角形，蜂窝形）材料在平面内呈现出各向同性的性质，并且通过对单元结构的力学分析得到等效微极连续体的本构关系。石墨片层的结构力学模型符合三折对称条件，可使用此方法将石墨片层连续化为微极介质，求得其微极材料常数为： 其中是石墨片的有效厚度（）。把2.1节所得代入上式，则求出各个材料常数值。通过计算，石墨片的等效杨氏模量，此 值与经验值吻合得很好。 3 碳纳米管的弯曲模量与自由振动 3.1 碳纳米管弯曲刚度尺度效应现象 从实验和理论分析中得知，碳纳米管的力学性能与其微结构密切相关。 Chang和Gao [3]详细的阐述了单壁碳纳米管杨氏模量与其直径和手性的关系； Wang [11]指出：单壁碳纳米管弯曲刚度具有尺度效应。在这一节，将运用已有的微极