二次齐次多项式不但在几何中出现.doc

第一章 引 言 二次齐次多项式不但在几何中出现, 而且在数学的其它分支以及物理力学中也常常会碰到. 设是一个数域, 一个系数在数域中的的二次齐次多项式 = …………………………… 称为数域上的一个元二次型. 二次型的研究起源于解析几何, 当坐标原点与所讨论的二次型曲线的中心重合时, 有心二次曲线的一般方程为 左端是、的一个二次型. 一般二次曲面的方程左端也有类似的表达式, 即、、 的一个二次型: 二次型的理论在数学, 力学, 物理学中都有着重要的作用. 而在讨论二次型时, 正(负)定二次型所对应的正(负)定矩阵在多元函数的极值问题中又有着重要作用(参见文献[3]), 这就更说明了研究二次型的重要性. 目前, 有关数域上的二次型的矩阵表示，它是否存在标准形, 若标准形存在, 如何通过非退化线性替换化一般的二次型为标准形, 标准形的唯一性、是一个整数环, 一个系数在中的 的二次齐次多项式 = 称为整数环上的一个元二次型, 或者简称整二次型. 我们仍然想利用矩阵这一工具来研究整二次型. 然而并不是所有的整二次型都有与之相对应的整矩阵(定义见第二章), 而只有当整二次型中所有的项的系数都为偶数时, 才存在与之对应的整矩阵. 但对于任意的一个整二次型 = 我们都可以经过非退化整线性替换(定义见第二章), 其中 把原整二次型化为 === 显然新的整二次型所有项的系数都为偶数, 此时, 我们就可以通过整矩阵来研究它了. 这样我们就把对任意一个整二次型的研究归结为对所有项的系数都为偶数这样一类整二次型来进行研究. 在第二至五章中, 我们着重讨论了所有项的系数都为偶数这样一类整二次型. 而在第六章, 作为对前面所得结果的应用, 我们给出了一个重要定理的证明. 第二章 整二次型的矩阵表示 在这一章里, 我们主要来讨论整二次型中所有()系数为偶数的情形.我们用 ==,其中 (1) 来表示这一类整二次型. 下文中所提到的整二次型都是指的这一类整二次型. 在讨论这一类整二次型之前, 我们先引入有关整矩阵的一系列知识(参见参考文献[4]). 矩阵 ＝ , 其中, 皆为整数, =1, 2, …, ; =1, 2, …, , 称为一个行列的整矩阵,或称为整矩阵, 记为. 若, 则称为阶整矩阵, 记为. 类似于数域上的矩阵, 我们可以定义整矩阵的运算（加法运算、乘法运算）, 定义方法完全一样. 若阶整矩阵的行列式不为零，即0, 则此方阵称为非退化矩阵; 否则称之为退化矩阵. 若=1, 则称为模方阵, 而行列式等于1的整矩阵称为正模方阵. 易知两个模方阵之积仍为一模方阵, 而两个正模方阵之积仍为一正模方阵. 若阶整矩阵、, 有, 为单位矩阵, 则称为的逆矩阵, 记为. 设是整矩阵 ＝ 中元素的代数余子式, 矩阵 ＝ 称为的伴随矩阵. 由行列式按一行(列)展开的公式立即得出: == =, 其中. 若为模方阵, 则有逆矩阵存在, 且=; 反之, 若有逆矩阵, 则为模方阵. 要讨论整二次型, 我们首先要把数域上的二次型所对应的对称矩阵, 非退化线性替换推广到这一类整二次型上. 定义2 设; 是两组文字, 系数在整数环中的一组关系式 (2) 称为由 到的一个整线性替换, 或者简称整线性替换. 如果系数行列式 ≠0, 那么整线性替换(2)就称为非退化的. 把(1)的系数排成一个矩阵, 则整矩阵 　　　　　　　　　＝ 　　 它就称为整二次型(1)的矩阵. 因为, = 1, 2 , … , , 所以 =　 我们把这样的矩阵称为整对称矩阵. 整二次型的矩阵都是对称的. 令 =　 类似数域上的二次型, 1、整二次型(1)也可以用矩阵的乘积表示出来: = 且整二次型(1)和它的矩阵是相互唯一确定的. 2、类比数域上的 阶矩阵、合同的概念, 我们有以下定义: 定义3 整数环上阶方阵、称为整合同的, 如果有整数环上非退化阶方阵, 使, 即若有, 则称整合同于. 命题1 整数环上的、两阶方阵间的整合同关系具有: ⑴ 反身性: =; ⑵ 传递性: 由 和即得=. 注 在整数环上我们所定义的两个矩阵之间的整合同关系不是一个等价关系. 这是因为它不具有对称性, 在整数环上为非退化矩阵并不等价于为可逆阵. 因此, 在整数环Z上阶方阵、, 有整合同于, 不一定有整合同于. 所以它不具有对称性, 从而它不是一个等价关系. 它也不是一个偏序关系, 因为它不满足反对称性. 即由 和 , |C|0, |D|0推不出. 3、经过非退化的整线性替换, 原整二次型的矩阵整合同于新整二次型的矩阵. 第三章 整二次型在初等变