蠓虫的分类.doc

数学建模中的随机模型 -------摘自王兵团主编的《数学建模基础》 差 13 513.818 85 3 4 504.61 总变异 500 603.200 0 4 3. 蠓虫的分类 问题的提出 两种蠓虫Af和Apf已由生物学家罗纳（w.L.Grogna）和维尔恩（W.W.Wirth）于1981年根据它们的触角长（mm）和翼长（mm）加以区分，已经测得9只Af和6只Apf的数据如下。 Af： (1.24, 1.72), (1.36, 1.74), (1.38 ,1.64), (1.38, 1.90), (1.40, 1.70) , (1.48, 1.82), (1.38, 1.82), (1.54, 1.82), (1.56, 2.08) Apf: (1.14, 1.78), (1.18, 1.96), (1.20, 1.86), (1.26, 2.00), (1.28, 2.00), (1.30, 1.96) 根据触角长和翼长来识别一只蠓虫标本是Af还是Apf是很重要的。 给定一只Af族或Apf族的蠓虫，如何正确的区分它属于哪一族？ 将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24, 1.80), (1.28, 1.84), (1.40, 2.04)两三个标本。 设Af是传粉益虫，Apf是某种疾病的载体，是否应该修改你的分类方法？若需要修改，为什么？ 本题为美国大学生数学建模竞赛（MCM）1989年的问题A。 模型准备 本题是一个典型的判别分析问题，它给出有限的实验数据对，需要根据数据对的特点，对两类蠓虫进行分类。 判别分析问题的数学模型是：有k个总体…，它们的分布函数分别是…，这里x对于给定的一个新样品，要求判断它来自哪个总体。 解决这个问题有多种途径，如距离判别法、费歇判别法，以及人工神经网络等都可以对本题进行建模。在此用的是统计方法建模（包括相关的概率论知识） 模型假设 两种群的触角长和翼长服从二维正态分布。 由生物学中比率效应，可以认为Af类与Apf类群体的数量之比r为一个确定值。由于问题没有特别说明，因此假设Apf与Af的总数相同或Apf占总数的，Af占总数的。 样本无性别差异。 触角长与翼长作为指标同样重要。 用触角长与翼长来判别蠓虫是充分的。 所给出的样本数据是无误差的，且两种群Af和Apf的触角长及翼长的期望值、标准差、相关系数与数据给出的样本统计量一致。 问题的分析与建模 本题可以分为以下三步进行求解。 第1步 有所给数据求出Af与Apf两类蠓虫的密度函数。 第2步 求出一个触角长与翼长分别为（x，y）的蠓虫属于Apf类的概率p，设定一个阈值，使求得的概率p大于时认为该蠓虫属于Apf类。 第3步 找到这个阈值，并对其不同的取值进行分析。 所给数据的处理 由于服从二维正态分布，故有Apf和Af的密度函数分别为 其中，，，，，，， ，，，为10个未知参数，它们分别为Apf及Af的期望、标准差和相关系数。 由已知测得的数据，分别确定f（x，y）与g（x，y）中的有关参数值。利用矩法估计有 故可求得参数值如表4—5所示。 表4-5 Apf与Af的有关参数值 Apf 1.227 1.927 0.0628 0.0882 0.653 Af 1.413 1.804 0.0990 0.130 0.593 根据表4-5中的参数值可以得出两类蠓虫的相应密度函数。用Mahemaic作出max的图形，如图4-5所示。从图可以看出两个函数的峰是明显分开的，这样是有利于分类的。 图4-5 应用贝叶斯公式求概率 令代表Apfl类蠓虫，代表Af类蠓虫，B代表触角长和翼长分别为x，y的蠓虫（实际考虑值为落入小数领域×），则由假设（2）知 ， ， 易知条件概率为 应用贝叶斯公式，得 设定一个阈值，并认为，蠓虫属于Apf类；若，蠓虫属于Af类。 阈值的选择，并进行讨论 进行上述判别时，冒着犯两类错误的风险，即将Apf类蠓虫误判为Af类，而将Af类蠓虫误判为Apf类蠓虫，阈值的选取依赖于把Apf误判为Af及把Af误判为Apf的概率。 Apf类正误判。误把一个Af类蠓虫识别为Apf类，其概率为 （2） Apf类负误判。误把一个Apf类蠓虫识别为Af类