第一二三届全国大学生数学竞赛预赛试题及答案.doc

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 解 令，则，， （*） 令，则，，，， 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 解 令，则， , 解得。因此。 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知， 即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面 的切平面方程是。 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________. 解 方程的两边对求导，得 因，故，即，因此 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 解法1 因 故 因此 解法2 因 故 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 解 由和函数连续知， 因，故， 因此，当时，，故 当时， ， 这表明在处连续. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证： （1）； （2）. 证 因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知 （1） 而关于和是对称的，即知 因此 （2）因 故 由 知 即 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 解 设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程 的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程 的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是 因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和 ， 知， 二阶常系数线性非齐次微分方程为 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 解 因抛物线过原点，故，于是 即 而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 ， 得 即 因此 ,,. 七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和. 解 ， 即 由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知，， 于是 下面求级数的和： 令 则 即 由一阶线性非齐次微分方程公式知 令，得，因此级数的和 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量. 解 令，则因当，时，，故 在上严格单调减。因此 即 ， 又 ， ， 所以，当时, 与等价的无穷大量是。 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2010 (150分钟) 一、（25分，每小题5分） （1）设其中求 （2）求。 （3）设，求。 （4）设函数有二阶连续导数，，求。 （5）求直线与直线的距离。 解：（1）= === (2) 令x=1/t,则 原式= （3） （4）略（不难，难得写） （5）用参数方程求解。答案好像是 二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且 且存在一点，使得。 证明：方程在恰有两个实根。 解：（简要过程） 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开 因为二阶倒数大于0，所以 ， 证明完成。 三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。 解：（这儿少了一个条件）由与在出相切得 ， =。。。 上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设证明： （1）当时，级数收敛； （2）当且时，级数发散。 解： （1）0, 单调递增 当收敛时，，而收敛，所以收敛； 当发散时， 所以， 而，收敛于k。 所以，收敛。 （2） 所以发散，所以存在，使得 于是， 依此类推，可得存在 使得成立 所以 当时， 所以发散 五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球 ，其中（密度为1）绕旋转。 （1）求其转动惯量； （2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 解： （1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离 由轮换对称性， （2） 当时， 当时， 六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。 （1）设为正向闭曲线证明 （2）求函数； （3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。 解： L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段，，再从A，B作一曲线，使之包围原点。 则有 令 由（1）知，代入可得 上式将两边看做y的多项式，整理得 由此可得 解得： 取为，方向为顺时针 （最后一步曲线积分略去，不知答案对不对） 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2011 一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。） （1）.求； 解：方法一（用两个重要极限）： 方法二（取对数）： （2）.求； 解：方法一（用欧拉公式）令 其中，表示时的无穷小量， 方法二（用定积分的定义） （3）已知，求。 解： 二．（本题10分