第01课 金融数学课后习题答案.doc

第一章习题答案 1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息 In 。 解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是: a(t) = A(t) A(0) = t2 + 2t + 3 3 In = A(n) ? A(n ? 1) = (n2 + 2n + 3) ? ((n ? 1)2 + 2(n ? 1) + 3)) = 2n + 1 2. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t n) 时刻的利息: (1)Ir(0 r n); (2)Ir = 2r(0 r n). 解: (1) I = A(n) ? A(t) = In + In?1 + ? ? ? + It+1 = n(n + 1) 2 ? t(t + 1) 2 (2) I = A(n) ? A(t) = Σn k=t+1 Ik = Σn k=t+1 Ik = 2n+1 ? 2t+1 3. 已知累积函数的形式为: a(t) = at2 + b 。若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻 为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。 第1 页 解: 由题意得 a(0) = 1, a(3) = A(3) A(0) = 1.72 ? a = 0.08, b = 1 ∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ? a(10) = A(5) ? a(10) a(5) = 100 × 3 = 300. 4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 : (1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1)t. 解： (1) i5 = A(5) ? A(4) A(4) = 5 120 ≈ 4.17% i10 = A(10) ? A(9) A(9) = 5 145 ≈ 3.45% (2) i5 = A(5) ? A(4) A(4) = 100(1 + 0.1)5 ? 100(1 + 0.1)4 100(1 + 0.1)4 = 10% i10 = A(10) ? A(9) A(9) = 100(1 + 0.1)10 ? 100(1 + 0.1)9 100(1 + 0.1)9 = 10% 第2 页 5.设A(4) = 1000, in = 0.01n. 试计算A(7) 。 解: A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7) = 1000 × 1.05 × 1.06 × 1.07 = 1190.91 6. 试计算500 元经过两年半的累积达到615 元的对应年单利率？另外，500 元以 单利率7.8% 累积多少时间可以达到630 元？ 解: 设年单利率为i 500(1 + 2.5i) = 615 解得i = 9.2% 设500 元需要累积t 年 500(1 + t × 7.8%) = 630 解得t = 3 年4 个月 7. 已知单利率为4% ，问：经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5% ？ 解: 设经过t 年后，年利率达到2.5% 1 + 4% × t = (1 + 2.5%)t t ≈ 36.367 8. 已知：(1 + i)5 = X, (1 + i)2 = Y. 求(1 + i)11. 解: (1 + i)11 = (1 + i)5+2￡3 = XY 3 9. 已知600 元投资两年将产生利息264 元（复利方式），问：2000 元以同样的实 利率投资3 年的终值。 第3 页 解: 设实利率为i 600[(1 + i)2 ? 1] = 264 解得i = 20% ∴ A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元 10. 已知：第n 年底的一个货币单位与第2 年底的一个货币单位的现值之和为一 个货币单位。计算(1 + i)2n. 解: 设实利率为i 1 (1 + i)n + 1 (1 + i)2n = 1 解得(1 + i)?n = √ 5 ? 1 2 所以(1 + i)2n = ( √ 5 ? 1 2 )?2 = 3 + √ 5 2 11. 已知：500元经过30年的投资将增为4000元，计算：分别在第20、40和60年底 投资10,000元的现值之和。 解: 由500×(1 + i)30 = 4000 ? (1 + i)30 = 8 于是PV = 10000 (1 + i)20 + 10000 (1 + i)40 + 10000 (1 + i)60 = 1000 × (8?2 3 + 8?4 3 + 8?2) = 3281.25 12.以同样的实利率，1元经过a年增为2元，2元经过b 年增为3元，3元经过c年增 为15元。若已知6元经过n年增为10元。试用a,b和c表示n。 第4 页 解: (1 + i)a = 2