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董 珺 排队论 一.概率论及随机过程回顾 二.排队论的基本知识 三.单服务台负指数分布排队系统分析 四.多服务台负指数分布排队系统分析 五.一般服务时间M/G/1模型分析 六.经济分析___排队系统的最优化 一、概率论及随机过程回顾 随机变量 离散型随机变量 概率分布和概率分布图 数学期望和方差 常见离散型随机变量的概率分布 二点分布? 二项式分布? Poisson分布? 一、概率论及随机过程复习 随机变量 离散型随机变量 概率分布和概率分布图 数学期望和方差 常见离散型随机变量的概率分布 二点分布? 二项式分布? Poisson分布? 随机变量 连续型随机变量 概率密度函数 概率分布函数 数学期望和方差 常见连续型随机变量的概率分布 均匀分布 指数分布？ 正态分布？ k阶爱尔朗分布？ ? 爱尔朗分布 其中Poisson过程是应用最为广泛的一类随机过程，常用来描述派对系统中顾客到达的过程、城市中的交通事故、保险公司的理赔次数等。 Poisson过程 定义：设 为时间 内到达系统的顾客数，若满足下面三个条件： 独立性：在任意两个不相交的区间内顾客到 达的情况相互独立； 平稳性：在 内有一个顾客到达的 概率为 普通性：在 内多于一个顾客到达 的率为 。 则称 为Poisson过程。且N(t)服从Poisson分布。 生灭过程 定义：设 为一个随机过程，若N(t)的概率分布具有以下性质： (1)假设N(t)=n，则从时刻到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为 的负指数分布； (2)假设N(t)=n，则从时刻到下一个顾客离开时刻止的时间服从参数为 的负指数分布； (3)同一时刻是只有一个 顾客到达或离去。 则称 为一个生灭过程。 现实生活中的排队模型 二、排队论的基本知识 2.1 排队模型 2.2 排队系统的组成和特征 什么是排队论 什么是排队论 排队系统的描述 涉及的要素 顾客 队列 服务台 到达间隔时间 服务时间 排队规则 排队系统的描述 绩效测度 等待顾客数 顾客等待时间 服务台忙期 服务台闲期 服务台利用率 排队模型存在的问题 如何以最经济的方式控制排队系统，使其达到特定的要求？ 提供过多的服务能力来控制排队系统将会造成过量的成本 提供的服务能力不足将会导致过多的等待，降低顾客满意度并造成顾客流失，减少收益 在现实中的排队现象是多种多样的 在现实中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”，要作广泛地理解，它现可以是人，也可以是非生物； 队列可以是具体地排列，也可以是无形的（例如向电话交换台要求通话的呼唤）； 顾客可以走向服务机构，也可以相反（如送货上门）。 下面举一些例子说明实现中形形色色的排队系统 服务机构 服务机构 服务机构 服务机构 服务机构 排队结构 排队系统的组成和特征 一般的排队系统都有三个基本组成部分 1.输入过程； 2.排队规则； 3.服务机构。 现在分别说明各部分的特征： （1）输入过程：输入即指顾客到达排队系统。可能有下列各种不同情况，当然这些情况并不是彼此排斥的。 （a）顾客的总体（称为顾客源）的组成可能是有限的，也可能是无限的。工厂内停机待修的机器显然是有限的总体。 （b）顾客到来的方式可能是一个一个的，也可能是成批的。例如到餐厅就餐就有单个到来的顾客和受邀请来参加宴会的成批顾客，我们将只研究单个至来的情形。 （c）顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也可以是随机型的。 如在自动装配线上装配的各部件就必须按确定的时间间隔到达装配点，定期运行的班车、班轮、班机的到达也都是确定型的。 但一般到商店购物的顾客、到医院诊病的病人、通过路口的车辆等，它们的到达都是随机型的。 对于随机型的情形，要知道单位时间内的顾客到达数或相继到达的间隔时间的概率分布（下图） 输入过程 (d)顾客的到达可以是相互独立的。 就是说，以前的到达情况对以后顾客的到来没有影响，否则不是有关联的。 例如，工厂内的机器在一个短的时间内出现停机（顾客到达）的概率就受已经待修或被修理的机器数目的影响。 我们主要讨论的是相互独立的情形。 输入过程 （e）输入过程可以是平衡的，或称对时间是齐次的，是指描述相继到达间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都是与时间无关的，否则称为非平衡的，非平稳情形的数学处理是很困难的。 负指数分布 随机变量T的概率密度若是