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概率论与数理统计第四章
第四章 极限定理
一、教材说明
本章内容包括常用的几个大数定律与中心极限定理。大数定律涉及的是一种依概率收
敛,中心极限定理涉及按分布收敛。这些极限定理不仅是概率论研究的中心议题,而且在
数理统计中有广泛的应用。
1、教学目的与教学要求
本章的教学目的是:
(1)使学生深刻理解和掌握大数定律,会熟练运用几个大数定律证明题目;
(2 )使学生理解并熟练掌握独立同分布下的中心极限定理。
本章的教学要求是:
(1)深刻理解并掌握大数定律,能熟练应用大数定律证明题目;
(2 )深刻理解与掌握中心极限定理,并要对之熟练应用。
2、重点与难点
本章的重点是讲清大数定律与中心极限定理的条件、结论,难点是大数定律和中心极限
定理的应用。
二、教学内容
本章共分大数定律、中心极限定理两节来讲述本章的基本内容。
§4.1 大数定律
一、大数定律的意义
1.引入
在第一章中引入事件与概率的概念时曾经指出,尽管随机事件 A 在一次试验可能出现
也可能不出现,但在大量的试验中则呈现出明显的统计规律性——频率的稳定性。频率是概
n
率的反映,随着观测次数 的增加,频率将会逐渐稳定到概率。这里说的“频率逐渐稳定于
概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率,这个稳定性就是“大数定律”研究的客观背
景。
P A p ( ) n
详细地说:设在一次观测中事件 A 发生的概率 ,如果观测了 次(也就是
71
μn
n n n
一个 重贝努利试验),A 发生了μ 次,则 A 在 次观测中发生的频率为 ,当 充分大
n
n
μn
时,频率 逐渐稳定到概率p 。若用随机变量的语言表述,就是:设X 表示第 次观测中
i
i
n
事件 A 发生次数,即
1, i A
⎧ 第 次试验中 发生
X
i ⎨ 1, 2,i , n
0, i A
⎩ 第 次试验中 不发生
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