率论与数理统计第四章.pdf

第四章 极限定理 一、教材说明 本章内容包括常用的几个大数定律与中心极限定理。大数定律涉及的是一种依概率收 敛，中心极限定理涉及按分布收敛。这些极限定理不仅是概率论研究的中心议题，而且在 数理统计中有广泛的应用。 1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生深刻理解和掌握大数定律，会熟练运用几个大数定律证明题目； （2 ）使学生理解并熟练掌握独立同分布下的中心极限定理。 本章的教学要求是： （1）深刻理解并掌握大数定律，能熟练应用大数定律证明题目； （2 ）深刻理解与掌握中心极限定理，并要对之熟练应用。 2、重点与难点 本章的重点是讲清大数定律与中心极限定理的条件、结论，难点是大数定律和中心极限 定理的应用。 二、教学内容 本章共分大数定律、中心极限定理两节来讲述本章的基本内容。 §4.1 大数定律 一、大数定律的意义 1.引入 在第一章中引入事件与概率的概念时曾经指出，尽管随机事件 A 在一次试验可能出现 也可能不出现，但在大量的试验中则呈现出明显的统计规律性——频率的稳定性。频率是概 n 率的反映，随着观测次数 的增加，频率将会逐渐稳定到概率。这里说的“频率逐渐稳定于 概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，这个稳定性就是“大数定律”研究的客观背 景。 P A p ( ) n 详细地说：设在一次观测中事件 A 发生的概率 ，如果观测了 次（也就是 71 μn n n n 一个 重贝努利试验），A 发生了μ 次，则 A 在 次观测中发生的频率为 ，当 充分大 n n μn 时，频率 逐渐稳定到概率p 。若用随机变量的语言表述，就是：设X 表示第 次观测中 i i n 事件 A 发生次数，即 1, i A ⎧ 第 次试验中 发生 X i ⎨ 1, 2,i , n 0, i A ⎩ 第 次试验中 不发生