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概率论与数理统计 第一章 概率论基础知识 §1.1 样本空间与随机事件 1.1.2 样本空间及随机事件 例1.13蒲丰问题 1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离的一半。把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142。得数竟然是π的近似值。这就是著名的蒲丰投针问题。 例1.13蒲丰问题 零概率事件不一定不发生 在[0,1]区间上任意取一个随机数,则这个随机数恰好等于0.5的概率是多少? 例1.19 §1.5 事件的独立性 §1.5.1 事件的独立性 例如:三个事件的独立 独立性在可靠理论中的应用 §1.5.2贝努利概型 例1.25 例1.19(续) 第1步: P(A0)=?, P(A1)=?, P(A2)=? 第2步: P(B|A0)=?, P(B|A1)=?, P(B|A2)=? 第3步: 写公式: 第4步: 利用Bayes公式计算第2问; 例1.19 (续) 一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次 比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二 次比赛时再从盒中任取两球, (1)令Ai:第一次取出i个新球,i=0,1,2 同理 (2)令B:第二次取出2个新球,计算P(B|Ai) 例1.19 (续) =0.2893 (2)已知第2次取出两个新球,而第一次 仅取出1个新球的概率. =0.5333 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？ 课堂练习 解:设B:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.A0, A1, A2分别表示事件每箱含0，1，2只次品. 已知: P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1 由Bayes公式: 习题：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后 放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率. 解 ： 设事件 Ai、Bi、Ci 分别表示第一、二、三次比赛时取 到i个新球(i=0,1,2,3) . 显然, A0 = A1 = A2= ?， A3= 并且B0, B1, B2, B3, 构成一个完备事件组，从而有 医学统计分析，人群中患某种疾病的人数 占总人数的0.5%，一种血液化验以95%的 概率将患有此病的人检查出阳性，但也以 1%的概率将不患此病的人检查出阳性。 现设某人检查出阳性，问他确实患有此病 的概率？ 例1.20样本空间的另一种划分方式 将人群划分为:(有病的)A和(没有病)A 定义1.4 设A,B是随机试验E的两个事件，若 则称事件A，B 相互独立 性质: 证明事件的独立性 A,B独立 B A （1）从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有 种取法. 3、组合 （2）把n个元素随机地分成m组(n=m),要求第 i 组恰 有ni个 (i=1,…m)，共有 种分法. 两个基本的摸球模型 口袋中有N只球，其中m个红球，余下是白球,他们除颜色以外没有差别，现随机从中摸球n次并观察摸出球的颜色，计算恰好摸到k个红球的概率。 考虑如下两种情况: (1)有放回摸球 (2)不放回摸球 （1）有放回抽样 样本空间中的样本点总数一共有Nn 取出的 n 个球 究竟哪 k 个是红球 Cnk m个红球中 取 k 个 mk (N-m)中取出 n – k 个 (N-m)n – k 概率论中称为是二项分布的概率公式 （2）无放回抽样 中包含样本点，即从N个球中 不放回抽取n个 我们感兴趣的是：n个中有k个红球 概率论中称为是超几何分布的概率公式 例：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组 例1.10 30只元件中有27只一等品，3只二等品。 随机将30只元件均分装入三盒，求： （1）每盒有一只二等品的概率； （2）有一盒有3只二等品的概率； 解： （1）3只二等品均分到三个盒子有： 1 2 3 3x2x1种可能性。 余下的27只应该平 均分到3个盒子中； 有： 种分法。 第2个问题，首先从3个盒子中任选一个 出来放3只二等品，这个盒子的另7只从 余下的27个一等品中选； 例1.10 麦克斯威尔—波尔茨曼质点运动问题