渐开线方程得推导.docxVIP

渐开线方程推导性质 1：渐开线的形状仅取决于基圆；Propertyof the involute：推论 1：齿轮的渐开线形状仅取决于 m、z、a，即模数、齿数、压力角；性质 2：基圆内无渐开线；? ? 性质 3：发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的长度，即 KN??AN；性质 4：渐开线上任一点的法线恒与基圆相切；Illumination：图 1渐开线方程推导青色带箭头的线――构成正交直角坐标系，O点为坐标原点；图中，绿色的圆――基圆、即渐开线发生圆，KN为渐开线发生线，基圆半径为 rb；? 蓝色曲线 AKB――渐开线，A为始端，B为终端，K为渐开线上任一动点；? 蓝色直线 OK――连接基圆圆心 O与动点 K的矢径，OK；? ? 蓝色直线 KV――动点 K的速度矢量 KV，垂直于矢径 OK；绿色直线 KN――动点 K的法线，根据渐开线的性质 4，设法线与基圆相切于 N，连接 NO；法线方向即为两齿轮啮合传动时、力矢的方向 KF；紫色直线 NQ――切点 N向 X轴作垂线，垂足为 Q；紫色直线 KP――动点 K向直线 NQ作垂线，垂足为 P；Definition：?KOA称为展角，记为??；?NOA称为滚动角，记为???；速度矢 KV与力矢 KF的夹角称为压力角，记为???，即图 1中??VKN；Because ?VKN???OKN???90??And ?NOK???OKN???90??That is ?NOK???VKN?? k??滚动角＝展角+压力角；Evolution in polar coordinates：在极坐标系中，渐开线方程可写为：? r k???OK?? br / cos(??) ???????????k k k ? AN rb ? KN ? k?????rb ? k????tan(??)?? k??即，r k??? br / cos(??) ???????an(??)?? k??Evolution in Cartesian coordinates：在直角坐标系中，渐开线方程可写为（关键是两条紫色的辅助线，注意：?KNP??90???ONQ?? k?）：? ? x k???OQ??PK ? ? ? y k???NQ??NP ? ? ? ?ON *cos(??)??NK *sin(??) ? ?ON *cos(??)??AN *sin(??) ? br *cos(??)??br *??? * sin(??) 即，x k??? br *cos(??)???r *??* sin(??) ? ?ON *sin(??)??NK *cos(??) ?ON *sin(??)??AN *cos(??) ? br *sin(??)??br *??? * cos(??) y k??? br *sin(??)???r *??* cos(??) ? ? Supplement：由以上推导可得出展角、滚动角、压力角三者之间的关系：???????an(??)?? k?????????an(??) ??????????? k??tan(??)??????? k??即，展角滚动角滚动角；；＝压力角的正切－压力角；＝压力角的正切；＝压力角+展角；压力角的正切＝压力角+展角；注 1：本文角度单位为弧度制；注 2：图 1中的角 a，b，c分别对应正文中的??,??,???，即压力角，展角，滚动角。