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数学分析课后习题案2.3
§3 数列极限存在的条件
1
1、利用lim(1+ )n e 求下列极限:
n→∞ n
1 n 1 n+1 1 n
(1) lim(1− ) ; (2) lim(1+ ) ; (3) lim(1+ ) ;
n→∞ n n→∞ n n→∞ n +1
1 1
(4) lim(1+ )n (5) lim(1+ 2 )n
n→∞ 2n n→∞ n
1 n n −1 n 1
解 (1) lim(1− ) = lim( ) = lim n−1
n→∞ n n→∞ n n→∞1 1 1 1
+ ⋅ +
n −1 n −1
1 1
=
n−1
1 1 e
lim 1 1
+ ⋅ +
n→∞ n −1 n −1
1 1 1
n+1 n
(2) lim(1+ ) = lim(1+ ) lim(1+ ) e ⋅1 e
n→∞ n n→∞ n n→∞ n
1 n 1 n+1 1 −1
(3) lim(1+ ) = lim(1+ ) (1+ ) e
n→∞ n +1 n→∞ n +1 n +1
1
1 1 2n⋅ 1
n 2 2n
(4) lim(1+ ) = lim(1+ ) lim(1+ ) e
n→∞ 2n n→∞ 2n n→∞ 2n
1
(5)设an 1+ 2 ,则an 0 , lim an 1 0 , 由第二节习题知
n n→∞
2 1
1 1 n ⋅
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