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向量在立体几何中的简单运用
向量在立体几何中的简单运用 远安一高：黄晓波 例1 如图棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1之中点。 （1）求证EF⊥CF （2） 、 所成角的余弦 * 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a//b的充要条件是存在实数λ使a=λb 共线向量定理: 共面向量定理: 如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb A D C B A1 D1 B1 C1 F G E x z y （3）求异面直线EF、GC所成的角 A D C B A1 D1 B1 C1 M N 例2 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，面ABCD， 面ADD1A1为正方形,点M、N分别是AD1，BD上的点 , 1）用向量 , 表示 2）用基向量 , , 表示 3）证明MN//平面DC1 且 m n a a l l α β 例3 如图 , , 用向量方法证明 a 证明：在l，a上取l，a。分别在α ， β 内作与a不共线的向量m，n（如图） ...l//α l// β ... l=x1a+y1m l=x2a+y2n ...(X1-x2)a+y1m-y2n=0 又... a, m, n不共面 ... X1=x2, y1=y2=0 ... l=x1a 又... l与a不重合 ... l//a A D C B A1 D1 B1 C1 练习：如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为a的菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60° 1）求证：CC1⊥BD 2）当 的值为多少时能使A1C⊥平面C1BD,并证明之。 向量为我们解决立体几何问题提供了有力的工具，以后在遇到几何体中的夹角、距离、垂直、平行问题时要善于将其中转化为向量的夹角、模、垂直、平行问题，利用向量进行解决，它的实质就是形到数的转换过程，也是数形结合思想的体现。 *
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