第3讲圆中得比例线段与圆内接四边形.docVIP

第3讲　圆中的比例线段与圆内接四边形 【2013年高考会这样考】 1．考查相交弦定理，切割线定理的应用． 2．考查圆内接四边形的判定与性质定理． 【复习指导】 本讲复习时，紧紧抓住相交弦定理、切割线定理以及圆内接四边形的判定与性质定理，重点以基本知识、基本方法为主，通过典型的题组训练，掌握解决问题的基本技能. 基础梳理 1．圆中的比例线段 定理 名称 基本图形 条件 结论 应用 相交弦定理 弦AB、CD相交于圆内点P (1)PA·PB＝PC·PD； (2)ACP∽ △DBP (1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一； (2)求弦长及角 切割线定理 PA切O于A，PBC是O的割线 (1)PA2＝PB·PC； (2)PAB∽ △PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一； (2)求解AB、AC 割线定理 PAB、PCD是O的割线　 (1)PA·PB＝PC·PD； (2)PAC∽ △PDB (1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD； (2)应用相似求AC、BD 2.圆内接四边形 (1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补． (2)圆内接四边形判定定理： 如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆； 若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆． 双基自测 1．(2011·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则的值为________． 解析　ABCD为圆内接四边形，PBC＝ADP，又P＝P，BCP∽△DAP，＝＝. 答案　 2．(2011·广州调研)如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN与O相切，切点为A，MAB＝35°，则D＝________. 解析　连接BD，由题意知，ADB＝MAB＝35°，BDC＝90°，故D＝ADB＋BDC＝125°. 答案　125° 3．(2011·深圳调研)如图，AB是O的直径，D是O上一点，E为的中点，O的弦AD与BE的延长线相交于点C，若AB＝18，BC＝12，则AD＝________. 解析　如图，连接AE，AB是O的直径， AE⊥BE，又E是 的中点， BAE＝EAC， 从而E是BC的中点， BE＝EC＝6，AB＝AC＝18， 由CD·CA＝CE·CB，得(18－AD)×18＝6×12，故AD＝14. 答案　14 4．(2011·广州模拟)如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD＝3，AD＝4，AB＝2，则BC＝________. 解析　A＝DBC，D＝D， ABD∽△BCD，＝，解得BC＝. 答案　 5．如图所示，已知O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为________． 解析　由相交弦定理知， EA·EB＝EC·ED.(*) 又E为AB中点，AB＝4，DE＝CE＋3， (*)式可化为22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE， CE＝－4(舍去)或CE＝1. CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5. 考向一　相交弦定理的应用 【例1】(2011·广东实验中学质检)如图，半径为2的O中，AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的长为________． [审题视点] 由勾股定理求AD，再由相交弦定理求DE. 解析　延长DO交圆O于另一点F，易知OD＝1，则AD＝＝.由相交弦定理得，AD·DE＝BD·DF，即·DE＝1×3，DE＝. 答案　 相交弦定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解题时要与相似三角形及圆周角、弦切角等相关知识综合应用 . 【训练1】 (2011·广东)如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，OAP＝30°，则CP＝________. 解析　依题AP＝PB＝a，由PD·CP＝AP·PB，得CP＝＝a. 答案　a 考向二　切割线定理的应用 【例2】如图所示，PA为O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，BAC的平分线与BC和O分别交于点D和E，求AD·AE的值． [审题视点] 由切割线定理知PA2＝PB·PC，可得直径BC的长，要求AD·AE，由ACE∽△ADB，得AD·AE＝CA·BA，只要求出CA，BA的长即可． 解　如图所示，连接CE，PA是O的切线，PBC是O的割线， PA2＝PB·PC.又PA＝10，PB＝5，PC＝20，BC＝15. PA切O于A， PAB＝ACP. 又P为公共角，PAB∽△PCA. ∴＝＝＝. BC为O的直径，CAB＝90°. AC2＋AB2＝