第9章 循环码.pptVIP

* * * * * * * * 第九章循环码 第九章 循环码 内容提要： 循环码是线性分组码中一个重要的子类。本章首先提出了循环码的定义以及循环码的多项式描述方法，论述了循环码构成的有关重要定理；接着讨论了循环码的编译码方法及其实现电路，最后介绍了已获得广泛应用的循环汉明码、BCH码等。 本章重点： 1.循环码的基本概念； 2. 循环码的编码和译码方法； 3. BCH码。 9.1.1 循环码的定义 将任一码字中的7个码元排在一个圆周上，则从圆周的任一码元开始，按顺时针方向移动一周，都将构成该码的一个码字。这就是循环码的由来。（见图9.1） 9.1 循环码的一般概念 图9.1 （7，4）汉明码的码字循环图 第二循环 第一循环 定义9.1 一个线性分组码，若具有下列特性，则称其为循环码。设码字 c＝（cn-1，cn-2，…，c1，c0） 若将码元循环左移一位，得 c (1)＝（cn-2，…，c1，c0，cn-1） c (1)也是一个码字。 9.1.2 循环码的多项式描述 设c＝（cn-1 cn-2 … c1 c0）是（n，k）循环码的一个码字，则与其对应的多项式 c (x)＝cn-1xn-1＋cn-2xn-2＋…＋c1x＋c0 (9－1) 称为码字c的码字多项式（或码多项式）。 如果c＝（cn-1 cn-2 … c1 c0）是（n，k）循环码的一个码字，则c (1)＝（cn-2 …c1 c0 cn-1）也是该循环码的一个码字。这就是说 c (x)＝cn-1xn-1＋cn-2xn-2＋…＋c1x＋c0 和 c (1) (x)＝cn-2xn-1＋…＋c1x2＋c0x＋cn-1 都是（n，k）循环码的码字多项式。 比较c(x)和c (1) (x)后可得 c (1) (x)＝x c (x), mod xn－1 (9－2) 以及 c(i) (x)＝xic (x) （i＝1,2,…,n－1）, mod xn－1 (9－3) 定理9.1 在以多项式xn－1为模的剩余类全体所构成的n维线性空间Vn中，其一个子空间Vn,k是一个循环子空间（循环码）的充要条件是：Vn,k是一个理想。 一个（n，k）循环码的码字多项式都是模xn－1运算下多项式剩余类环中的一个理想，而且一定是一个主理想子环。反之，多项式剩余类环的一个主理想子环也一定生成一个循环码。 9.1.3 循环码的生成多项式 定理9.2 GF(2)上的（n，k）循环码中，存在有唯一的n－k次首一多项式 g(x)＝xn-k ＋gn-k-1xn-k-1 ＋ … ＋ g1x＋g0 使得每一个码多项式c(x)都是g(x)的倍式，且每一低于或等于n－1次的g(x)倍式，一定是码多项式。 定理9.3 （n，k）循环码的生成多项式g(x)一定是xn－1的因式：xn－1＝g(x)h(x)。反之，若g(x)为n－k次，且除尽xn－1，则此g(x)一定生成一个（n，k）循环码。 定义9.2 若一个循环码的所有码字多项式都是一个次数最低的非零首一多项式g(x)的倍式，则称g(x)生成该循环码，并称g(x)为该码的生成元或生成多项式。 定理9.4 若g(x)是（n，k）循环码的生成多项式，由xn－1＝g(x)h(x)，h(x)是k次多项式，称为校验多项式。令 h(x)＝hkxk＋hk-1xk-1＋…＋h1x＋h0 则 (9－5) 为（n－k）?n阶矩阵，称为码的校验矩阵。 ①（n，k）循环码的生成多项式g(x)是一个次数最低的唯一的首一多项式，其次数r＝n－k正好是码字中校验元的数目； ② 生成多项式g(x)是xn－1的因式。要构造一个（n，k）循环码，就是要在xn－1的因式中找一个n－k次的首一多项式g(x)，它的所有次数低于或等于n-1的倍式就构成一个（n，k）循环码。反之，循环码的每一个码字多项式必是g(x)的倍式； 综上所述，有如下结论： ③ 由xn－1＝g(x)h(x)，h(x)称为校验多项式。对于任意一个（n，k）循环码，必有 g(x)h(x)＝0 mod