冈萨雷斯_数字图像处理第3版第4章习题416-443.docxVIP

4.16 证明连续和离散二维傅里叶变换都是平移和旋转不变的。首先列出平移和旋转性质： (4.6-3) (4.6-4)旋转性质： (4.6-5)证明：由式(4.5-15)得：由式(4.5-16)得：依次类推证明其它项。4.17 由习题4.3可以推出和。使用前一个性质和表4.3中的平移性质证明连续函数的傅里叶变换是证明：4.18 证明离散函数的DFT是证明：离散傅里叶变换如果，，否则：考虑实部，，的值介于[-1, 1]，可以想象，，虚部相同，所以4.19 证明离散函数的DFT是证明：4.20 下列问题与表4.1中的性质有关。(a) 证明性质1的正确性。(b) 证明性质3的正确性。(c) 证明性质6的正确性。(d) 证明性质7的正确性。(e) 证明性质9的正确性。(f) 证明性质10的正确性。(g) 证明性质11的正确性。(h) 证明性质12的正确性。(i) 证明性质13的正确性。(a)当为实函数，则(b)当为实函数，则和并且。而且，所以可以得到：，便是为偶函数和为奇函数。(c)当为复函数，由下式得：所以得证；(d)当为复函数，由下式得：所以得证；(e)当为实函数、奇函数，则的实部为0，即为虚数，且也是奇数。由式可知，为虚数。(f)当为虚函数、偶函数，由下式得：所以F(u，v)为一虚数。(g)当为虚函数、奇函数，由下式得：可知，结果为一实数。(h)当为复函数、偶函数，由下式得：由式子可知，前项为实数，而后项为一纯虚偶数。(i)当为复函数、奇函数，由下式得：由式子可知，前项为一偶实函数，后项为一纯虚奇数。★ 4.21 4.6.6节中在讨论频率域滤波时需要对图像进行填充。在该节中给出的图像填充方法是，在图像中行和列的末尾填充0值(见上面的左图)。如果我们把图像放在中心，四周填充0值(见上面的右图)，而不改变所用0值的总数，会有区别吗？试解释原因。答：如下图所示观察上图，左图是正确的结果，右图是“缠绕错误”引起的卷积错误。这个缠绕错误出现的原因在于没有对图像进行填充，只有通过填充之后获得适当的间距才能得到正确的卷积结果。关键在于得到“适当的间距”，左右两种填充可以得到相同的结果。★ 4.22 同一幅图像的两个傅里叶频谱如右图所示。左边的频谱对应于原图像，右边的频谱图像使用0值填充后得到的。解释右图所示的谱沿垂直轴和水平轴方向的信号强度显著增加的原因。答：除非原图像中所有的边界都是黑色的，用0值填充图像的边界将不可避免地在图像的一条或多条边界上引入灰度值变化的不连续性，即新增了水平“边界”和垂直“边界”，“边界”意味着高频分量，所以，对应到频域中，我们看到了沿垂直轴和水平轴方向的信号强度显著增加的现象。4.23 由表4.2可知DFT的直流项与其对应的空间图像的平均值成正比。假定图像尺寸是。假如对图像进行0填充后，图像的尺寸为，其中P和Q分别由式(4.6-31)和式(4.6-32)给出。令代表填充后的函数的DFT的直流项。★ (a) 原图像平均值和填充后图像平均值的比值是多少？(b) 吗？假设从数学角度回答。解：(a) 图像灰度平均值的计算：所以原图像平均值和填充后图像平均值的比值是(b) 是的，它们相等。解释：我们知道结合(a)的结论，可以证明。4.24 证明表4.2中的周期性质(性质8)证明：离散傅里叶变换其它证明类似。4.25 下列问题与表4.3中的性质有关。★ (a) 证明一维情况下离散卷积定理的正确性。(b) 对于二维情况，重复(a)(c) 证明性质9的正确性。(d) 证明性质13的正确性。(注意：习题4.18、习题4.19和习题4.31也与表4.3有关)证明：(a) 一维情况下离散卷积定理的证明由(4.4-10)以及一维离散傅里叶变换的定义可知 (4.4-10)一维傅里叶变换： (4.4-6) (4.4-7)而：所以：(b) 由(a)可知(c) 矩形波rect[a, b]的傅里叶变换：性质9 (d) 证明性质13的正确性。性质13 4.26 (a) 证明连续变量t和z的连续函数的拉普拉斯变换满足下列傅里叶变换对[拉普拉斯变换的定义见式(3.6.3)]：(提示：研究表4.3中的性质12并参阅习题4.25(d))★ (b) 前面闭合显示的表达式仅适用于连续变量。然而，使用滤波器它可能是离散频率域实现拉普拉斯的基础，，，。解释您怎样实现这个滤波器。(c) 正如您在例4.20中看到的那样，频率域的拉普拉斯结果类似于使用中心系数为-8的空间模板的结果。请说明频率域拉普拉斯结果与中心系数为-4的空间模板的结果不同的原因。(a) 证明：由第3章可知，两个连续变量的拉普拉斯函数定义为根据表4.3中的性质12，可得拉普拉斯函数的傅里叶变换为得证。(b) 答：由前面的推导可以看出，拉普拉斯滤波器适用于连续变量。对离散傅里叶变换，我们可以通过