2015高考复习基本初等函数复习(学生).docVIP

指数与指数函数 基础梳理 1．根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n＞1且，nN*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)根式的性质 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示． 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示．正负两个n次方根可以合写为±(a＞0)． n＝. ④当n为奇数时，＝. 当n为偶数时，＝ |a|＝ ⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 正整数指数幂：an＝(n∈N*)． 零指数幂：a0＝1(a≠0)． 负整数指数幂：a－p＝(a≠0，pN*)． 正分数指数幂：a＝(a＞0，m、n N*，且n＞1)． 负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m、nN*，且n＞1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 aras＝(a＞0，r、sQ)． (ar)s＝(a＞0，r、sQ)． (ab)r＝(a＞0，b＞0，rQ)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 性质 过定点 当x＞0时，； x＜0时，当x＞0时，；x＜0时， 在(－∞，＋∞)上是在(－∞，＋∞)上是一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. 双基自测 1．若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan 的值为(　　)． A．0 B. C．1 D. 2．函数f(x)＝2|x－1|的图象是(　　)． 3．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上是(　　)． A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值 4．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则(　　)． A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞a＞b 5．已知＝3，则a＋a－1＝______；a2＋a－2＝________. 考向　指数函数的性质 【例2】已知函数f(x)＝·x3(a＞0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性； (1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f(－x)±f(x)，来判断． (2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法． 考向　指数函数图象的应用 【例3】(2009·山东)函数y＝的图象大致为(　　)． [审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性． 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y＝，y＝，y＝lg(10x－1)等． 【训练3】 已知方程10x＝10－x，lg x＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________． 1．对数的概念 (1)定义如果ax＝N(a＞0，a≠1)，那么数x就叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a＞0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 alogaN＝；logaaN＝(a＞0且a≠1)． (2)对数的重要公式 换底公式：(a，b均大于零且不等于1)； logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (3)对数的运算性质 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 loga(M·N)＝；loga＝； logaMn＝(n∈R)．log amMn＝ 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1，y＜0 当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线对称．一种思想 对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防