2009年IMO中国国家队选拔考试试题含答案(第二天,2009年4月1日).docVIP

2009年IMO中国国家队选拔考试 第2天 2009年4月1日 8：00-12：30 湖北 武汉 4. 设正实数满足. 求证：对区间中任意两个不同的整数，总存在一个由区间中某些整数组成的（非空）集合，使得 是一个有理数的平方. 5． 设是大于1的整数，是一个奇数且. 数 满足 (1) 对于任意的，是的一个排列； (2) 对于任意的，有. 求的最小值. 6. 求证：在40个不同的正整数所组成的等差数列中，至少有一项不能表示成的形式，其中是非负整数. 4. 设正实数满足. 求证：对区间中任意两个不同的整数，总存在一个由区间中某些整数组成的（非空）集合，使得 是一个有理数的平方. 证明 我们需要一个引理. 引理 设整数满足，则区间中有两个不同整数，使得是一个整数的平方. 引理的证明 取是大于等于的最小整数，即整数满足 ， 故 ， ① 从而 （因）. ② （这里，我们应用了一个熟知的事实，函数在或时取得最大值.） 由①，②可知，和为区间中的两个不同整数，取，即知是一个整数的平方. 回到原题，设，则. 由引理可知，对于，分别有区间中的两个不同整数，都存在一个整数，使得 将所有这些等式相乘，得 是一个整数的平方. 令为中出现奇数次的数的集合，若非空，则由上式易知 是一个有理数的平方. 若是空集，则显然是一个整数的平方. 而由知，即，即区间中至少有一个整数，故在区间中至少有一个完全平方数. 设（），令，则 是一个有理数的平方. 5. 设是大于1的整数，是一个奇数且. 数 满足 (1)对于任意的，是的一个排列； (2)对于任意的，有. 求的最小值. 解： 令，由得. 下面先估计的下界. 由(1)知存在唯一的一个，使. 考虑与. 情况1 与中至少有一个为，由对称性不妨设. 由(2)我们有 ， 及 . 故 . 情况2 与都不为，则由(1)知存在，使. 由(1)，(2)易知. 再利用(2)我们有 ， 及 . 故 . 综合情况1，2知. 另一方面，令 则对于任意的， 若，则； 若，则. 即(2)成立. 下证(1)成立. 事实上，只须证明对任意的整数及，存在一个整数使得即可. 当时，由，及知，故且是一个整数. 因此和至少有一个在集合中，取这个数为即可. 当时，由，及知， 故且是一个整数. 因此和至少有一个在集合中，取这个数为即可. 现在，我们来估计此时的. 由于(1)成立，故对任意的，有，即对于奇偶性相同且满足及的整数，有. 因此对于给定的，两两不同，两两不同.因此我们有 . 故此时的. 综上所述，的最小值为. 6. 求证：在40个不同的正整数所组成的等差数列中，至少有一项不能表示成的形式，其中是非负整数. 证明 假设存在一个各项不同，且均能表示成的形式的40项等差数列，设这个等差数列为，其中是正整数. 设，下面先证明中至多有一个不能表示成或者的形式.（是非负整数） 若中的某一个不能表示成或者的形式，由假设，一定存在非负整数，使得. 由和的定义知，又因为不能表示成或者的形式，故. 若，则，矛盾. 若，则，矛盾. 因此只有，即中至多有一个不能表示成或者的形式. 因此，这14个数中至少有13个可以写成或者的形式，由抽屉原理，至少有7个数可表示为同一种形式. 下面分两种情况. 情况1 有7个数可以表示成的形式，设它们为，其中. 则是某个公差为的14项等差数列中的七项. 但，矛盾. 情况2 有7个数可以表示成的形式，设它们为，其中. 则是某个公差为的14项等差数列中的七项. 但，矛盾. 综上所述，假设不成立，原题得证.