2015北京朝阳高考二模数学理(含解析).docx

北京市朝阳区2014—2015学年度第二学期高三综合练习2015．5数学（理科）第一部分（选择题共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，集合，则（）．A．B．C．D．，或2．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）．A．B．C．D．3．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（　　）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点，，，满足，，，则（）．A．B．C．D．5．已知函数，若对任意的实数，总有，则的最小值是（）．A．B．C．D．6．已知双曲线，与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为．若，则双曲线的渐近线方程为（）．A．B．C．D．7．已知函数，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．8．如图，将一张边长为的正方形纸折叠，使得点始终落在边上，则折起部分面积的最小值为（）．A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．展开式中含项的系数是__________．10．已知圆的圆心在直线上，且圆与两条直线和都相切，则圆的标准方程是__________．11．如图，已知圆的半径为，直线与直线为圆的两条割线，且割线过圆心．若，，则__________．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点，，，都在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设为坐标原点，点，则，，，中，面积的最大值是__________．14．设集合，集合中所有元素的个数为__________；集合中满足条件“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形中，，，，．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求梯形的高．16．（本小题共13分）某学科测试中要求考生从，，三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有名学生参加测试，选择，，三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从份答案中抽出若干份答卷，其中从选择题作答的答卷中抽出了份，则应分别从选择，题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，，，三题答卷得优的份数都是，从被抽出的，，三题答卷中再各抽出份，求这份答卷中恰有份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，题的答卷得优的有份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择题作答的答卷中，记其中得优的份数为，求的分布列及其数学期望．17．（本小题共14分）如图，在直角梯形中，，，．直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；（Ⅲ）设为的中点，，分别为线段，上的点（都不与点重合）．若直线平面，求的长．18．（本小题共13分）已知点为椭圆的右顶点，点，是椭圆上不同的两点（均异于点），且满足直线与直线斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间上存在不相等的实数，，使成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．20．（本小题共13分）已知数列，，，是正整数，，，，的一个全排列．若对每个都有或，则称为数列．（Ⅰ）写出满足的所有数列；（Ⅱ）写出一个满足的数列的通项公式；（Ⅲ）在数列中，记．若数列是公差为的等差数列，求证：或．北京市朝阳区2015 年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ABBC ACDB二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案三、解答题：15．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，整理得，解得（舍负）．过点作于，则为梯形的高．因为，，所以．在直角中，．即梯形的高为．16．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）由题意可得：题ABC答卷数180300230抽出的答卷数352应分别从题的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，可知只能题答案为优，依题意．（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为，且．；；；；；．随机变量的分布列为：所以．17．（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得，．因为平面平面，且平面平面，所以平面，由于平面，所以．（Ⅱ）由（1）知平面所以，．由已知，所以两两垂直．