二重积分 经济应用0.pptVIP

例 一位居民准备购买一座别墅，现价为300万元。如以 分期付款的方式购买，经测算每年付21万元，20年付清。银 行的存款年利率为4﹪，按连续复利计息，问是采用一次性 付款合算还是分期付款合算？ 解 若分期付款，付款总额的现值为 因此分期付款合算。 300(万元) 故 用分部积分法可得 用L’Hospital法则 其中 因此原积分发散。 积分区域D由y=x、x=0和y=1所围 成。 它即是x-型区域又是y-型区域。若 按x-型区域计算 ： 这个内层的积分无法积出，即按x-型区域无法计算。下面选 择按y-型区域计算： 解 画出积分区域 D={(x,y)|1≤x2+y2≤2x, y≥0}， 则 解 画出积分区域 D={(x,y)|x2+y2≤x+y}， 则 解 T年后总收入的现值为 T年后总利润的现值为 令L‘(t)=0，得T=10。当T10时L‘(t)0，当T10时L‘(t)0， 则T=10是唯一的极大值点。即T=10时总利润的现值最大。此 时，企业所得利润的现值为 =852.25(元) 这些性质在图象上解释比较好 这个式子在关于函数与原函数的关系中又较好的应用。 例1 区域D={(x,y)|x2+y2≤a2}，计算 解 例2 区域D={(x,y)|1≤x2+y2≤2x, y≥0}，计算 解题过程 解 画出积分区域 D={(x,y)|1≤x2+y2≤2x, y≥0}， 例3 区域D={(x,y)|x2+y2≤x+y}，计算 解题过程 解 画出积分区域 D={(x,y)|x2+y2≤x+y}， 练习： * * 作业： 计算下列二重积分： 答案 y x o 可以证明，若f(x,y)在D上连续，只要按某种特殊的扩展方 式极限 存在，则广义积分 收 敛。因此，在计算广义二重积分时，一般选择有利于计算的特 殊区域(如圆、矩形等)扩展方式，讨论相应极限的存在性。 例 对广义积分 取圆Da：x2+y2≤a2，则 显然a→+∞时Da →R2，因此有 取 Dl：|x|≤l,|y|≤l，则 显然当l→+∞时有Dl→ R2，因此有 由此得到 称之为Poisson积分。 与x无关，可提到对x积分的积分号外面去 与y无关，可提到对y积分的积分号外面去 §5.8 经济运用模型 一、平面图形的面积 由定积分的定义可知，当f(x)0时，由曲线y=f(x)、直线 x=a、x=b (ab)与x轴所围图形D的面积为 积分(尤其是定积分)在几何、物理、经济等很多方面有 广泛的的应用。下面分几何和经济两方面作简要介绍。 当f(x)0时，由-f(x)0，这时图形D的面积为 对一般的函数，有以下结果。 对一般的图形，常先分割成几个标准区域(x-型区域或y- 型区域)，再分别计算。 1、x-型区域 利用上面引理的结果或二重积分很容易得到公式： 定理 由曲线y=f(x)、y=g(x)及直线x=a、x=b所围成的图形 的面积为 2、y-型区域 定理 由曲线x=φ(y)、x=ψ(y)及直线y=c、y=d所围成的图 形的面积为 求面积的步骤： （1）作出草图； 作出图形是求面积的先决条件。必要时先求交点。 （2）选择积分变量； 可找出封闭图形边界上横坐标最小、最大的点，若上下两段边界的方程统一，则可选x作积分变量， 否则，选x作积分变量必须将图形分块，这时可找出边界上纵坐标最小、最大的点，若左右两段边界的方程统一，则可选y作积分变量。 （3）列积分式、计算。 一定要注意被积函数是上边曲线的方程减去下边曲线的方程（x为积分变量）或右边曲线的方程减去左边曲线的方程（y为积分变量）。 另：由曲线 y=f(x),y=g(x)(0≤f(x) ≤g(x)),直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成的曲边带形绕x轴旋转一周所得 旋转体的体积为 类似地，若x=g(y)在[c,d]上连续，由曲线x=g(y) 、直线 y=c、y=d、x=0(y轴)所围成的图形绕y轴旋转而得到的旋转体 的体积为 另:由连续曲线x= ,直线y=c,y=d 所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得立体的 注：在两条曲线围成的平面图形旋转的体积公式中，若不满足条件0≤f(x)≤g(x)或 0 a y=f(x) b x y