序列的傅氏变换 - read.ppt

1）序列是绝对可和的，满足 2）能量有限的序列，满足 序列傅氏变换的存在也是有条件的。有两类序列满足序 列傅氏变换存在的充分条件： 式收敛的，所以这类序列的傅氏变换存在。如例5-19的 绝对可和的序列一定是是能量有限的序列，但能量有限 的序列未必满足绝对可和。能量有限的序列虽不满足绝 对可和，但因其能量有限，级数是以均方误差为零的方 序列 ，不满足绝对可和，但它的傅 氏变换存在。 2、 与 与 的关系 上节利用理想采样信号讨论z变换与傅氏变换的关系时， 已经涉及序列DTFT与连续信号FT的关系，现在进一步 明确序列的 、 的关系，建立数 字域频谱的概念。由(5-43)式 定义 为数字频率，是模拟频率的归一化频率， 将 代入上式，得到数字域频谱 为 与 相比，除了模拟频率被归一化外，也是 周期频谱。数字域频谱的重复周期为 ，折叠角频率 与模拟域折叠角频率 对应，如图5-14所示 。 0 0 0 例5-20：已知模拟 ，如果 ，以采样频率 号的频谱 对其采样，求连续信 、采样信号的频谱 、数字域频 谱 。 解： 如图5-15所示。 、 、 3、 序列傅氏变换的的性质 (1)、线性 若 则 (2)、时移与频移 (3)、频域微分 若 则 证 (4)、时域卷积定理 ， 若 则 证明 (5)、频域卷积定理 ， 则 用与时域卷积相似的方法可证。 是数字域的能量谱密度函数。 式中 (6)、帕斯瓦尔定理 若 序列傅氏变换的对称性是傅氏变换性质中的一大类，所以 将其单独列出。利用序列傅氏变换的对称性可以简化序列 的运算，是非常有用的。这里先介绍一些对称的定义， 再讨论有关性质。 的共轭对称与共轭反对称序列 4、序列傅里叶变换的对称性 (1) （5-55） （5-56） 共轭反对称序列 共轭对称序列 列之和 式中 是实部为偶对称，虚部为奇对称的序列； 是实部为奇对称，虚部为偶对称的序列。 任意一个复序列总可以分解成共轭对称与共轭反对称序 解以上方程组可得： 证明 不难得到 同理可得 * §5.5利用z变换求解差分方程 N阶LTI离散系统的差分方程一般形式为 当 是因果序列，已知初始（边界）条件 时，可利用z变换求解上式。对上等式两边取 z变换，利用单边z变换的位移性，得到 式中 是初始条件。 零状态响应是仅由激励引起的响应。当激励 1、零状态响应 序列时，系统初始条件为零 是因果 , ，则 上式为 得零状态响应为 令 式中 为系统（传输）函数，零状态响应还可表 示为 Z Z 例5-14 已知一离散系统的差分方程为 ，求 。 其中 解 因为 ， ，是零状态响应。对方程两边取zT 2、零输入响应 零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应，与初始 （边界）条件 密切相关。此时激励 ，零输入响应变的z变换为 其中 为系统的初始（边界）条件， Z 例5-15 差分方程同例5-14， ， 求 ， 。 解 激励 ，是零输入响应。 对差分方程两边取z变换 3、全响应 与拉氏变换相似，利用z变换，不需要分别求零状态响应 与零输入响应，可以直接求解差分方程的全响应。 =Z 例5-16 差分方程、激励同例5-14， ，求 。 解 先求出边界条件 将 代入原方程迭代 解出 ，此时的 是全响应。 对差分方程两边取zT 例5-17 已知某离散系统模拟如图5-9所示， 求系统函数 及冲激响应 解 。 §5.6 z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 信号的拉氏变换与采样序列的z变换联系起来，引进了复 傅氏变换、拉氏变换以及z变换是前面讨论过的三种变换。] 下面讨论这三种变换之间的内在联系与关系。 要讨论z变换与拉氏变换的关系，先要研究z平面与s平面 的映射（变换）关系。§5.1节通过理想采样我们将连续 变量z，它与复变量s有下面的映射关系 或 z平面与s平面的映射（变换） 关系，将 为了研究 代入，得 因此得到 是数字域频率。 式中 是采样间隔 ，对应的采样频率 式中 或 。 具体讨论 与 平面的映射关系 (1) s平面的虚轴（ ）映射到z平面的单位圆 s平面左半平面（ ）映射到z平面单位圆内 ； s平面右半平面 位圆外 。 映射到z平面单 ， (2) 时， ，s平面的实轴映射到z平面上的正 实轴。s平面的原点 映射到Z平面单位圆 的点。 (3) 由于 是 的周期函数，当 由 时， 由 ，幅角旋转了一周，映射了整个z平 面，且 每增加一个采样频率 ， 旋转一周，z平面重叠一次。 就重复 所以 平面的映射关系不是