第14讲：线性空间及概念,维数、基及坐标.ppt

第6章 线性空间与线性变换 一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 二、元素在给定基下的坐标 三、线性空间的同构 从而有 在这个基下的坐标为 因此 ). , , ( 2 1 1 0 a a a a - 应的坐标是唯一的． 线性空间V 的任一元素在不同的基下 注意： 所对的坐标一般不同, 但是一个元素在一个基下对 例 2 所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于 线性空间．对于 中的矩阵 矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个 , 0 3 3 2 1 = = = = ? k k k k 统计软件分析与应用 6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标 线 性 代 数 A 线 性 代 数 A 5.5—5.7 二次型及其标准形 　　线性空间是线性代数最基本的概念之一,它 　　线性空间是为了解决实际问题而引入的,它 是向量空间概念的推广． 是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际 问题看作线性空间,进而通过研究线性空间来解 决实际问题． §1 线性空间的概念 个元素 与之对应,称为 与 的和,记作 记作 若对于任一数 与任一元素 ,总有唯一 的一个元素 与之对应,称为数 与 的积, 定义 1 设 是一个非空集合, 为一数域， 如果对于任意两个元素 　, 总有唯一的一 如果上述两种运算满足以下八条运算规律 ( 设 )： , ) 4 ( 使 的负元素 都有 对任何 , , ) 3 ( 都有 对任何 中存在零元素 在 V 那么, 就称为数域 上的线性空间(或向量空 间), 中的元素称为向量(或元). 　　2. 向量空间中的向量不一定是有序数组． 　　3. 一个集合, 对于定义的加法和数乘运算不封 说明 　　1. 能满足以上八条规律的加法及数乘运算, 称为线性运算． 闭, 或者运算不满足以上八条规律中的任一条, 则此 集合就不能构成线性空间. 　 (1) 一个集合, 如果定义的加法和数乘运算 例１ 实数域上的全体 矩阵, 对矩阵 记作 ． 线性空间的判定方法 是通常的实数间的加乘运算, 则只需检验对运算 的封闭性． 的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间, 种运算满足线性运算规律．且 向量空间. 对于通常的多项式加法和数乘多项式的乘法构成 的多项式的全体,即 次数不超过 n 例2 证 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两 所以 空 和乘数运算不构成向量 对于通常的多项式加法 n 次多项式的全体 例3 间. 这是因为 对 . ] [ 对运算不封闭 x Q n 所以 例４ 对数函数的集合 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性 空间． 因为 则 是一个线性空间. 所以 在区间 上全体实连续函数, 对函数的 一般地, 有以下结论 加法与数和函数的数量乘法, 构成实数域上的 线性空间． 　　事实上, 任意两个实连续函数的和仍然为 实连续函数, 数与实连续函数的乘积仍为实连 续函数． 例 5 正实数的全体, 记作 , 在其中定义加法 验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 　 (2) 一个集合, 如果定义的加法和数乘运算 证明 先证运算的封闭性 不是通常的实数间的加乘运算, 则必需检验是否 满足八条线性运算规律． 及数乘运算为 下面一一验证八条线性运算规律： 有 对任何 中存在零元素 , , 1 ) 3 ( + + ? R a R 使 有负元素 , , ) 4 ( 1 + - + ? ? R a R a 所以对定义的加法与数乘运算封闭． 所以 对所定义的运算构成线性空间． 不构成线性空间． 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 例６ 个有序实数组成的数组的全体 线性空间. , 不是 所以 线性运算 由于所定义的运算不是 S n 定理1 线性空间有唯一一个零元, 任意元 证明 假设 是线性空间V中的两个零 由于 所以 元素, 则对任何 有, 有唯一一个负元． 假设 有两个负元素 与 , 那么 则有 向量 的负元素记为 所以零元是唯一的. 所以负元也是唯一的. 根据零元和负元的唯一性, 可得： 又 ⑴ ⑵ 如果 , 则 或 . 假设 那么 又 同理可得：若 则有 三、线性空间的子空间 定义2　设 是一个线性空间, 是