第14章第1节偏导数和全微分及概念.ppt

武夷学院数学与计算机系 * Chapter14. 偏导数和全微分 2009年9月21日 星期一 §14.1 偏导数和全微分的概念 在多元函数极限和连续概念基础上,讨论多元函数的偏导数和全微分及其在几何方面的应用。为学习多元函数积分学奠定基础。 Chapter14. 偏导数和全微分 教学目的： 教学重点和难点： 多元函数的偏导数的概念 §1. 偏导数和全微分的概念 §2. 求复合函数偏导数的链式法则 §3. 由方程（组）所确定的函数的求导 法 §4. 空间曲线的切线和法平面 §5. 曲面的切平面与法线 §6. 方向导数和梯度 §7. 泰勒公式 Chapter14. 偏导数和全微分 教学内容： 一、偏导数的定义 二元函数的图形通常是一张曲面. 偏导数的概念可以推广到二元以上函数. 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 x 求导数即可。 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 y 求导数即可。 其它情况类似。 解 把 y 看成常量 把 x 看成常量 解 把 y 看成常量 把 x 看成常量 解： 在某一点偏导数存在与连续的关系: 但函数在该点处并不连续. 一元函数中在某点可导 多元函数中在某点偏导数存在 连续. 连续. 偏导数存在 连续. 偏导数的几何意义 如图 几何意义: 二、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 全增量的概念 全微分的定义 事实上 可微 连续 即 定理1 证明: 总成立, 同理可得 (证毕) 一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在 例如: 微分存在． 全微分存在． 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。 证明 同理(第二个方括号内应用) 这里是说: 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和称为二元函数的微分符合叠加原理． 解 (2, 1) 处的全微分 它们均连续。因此，函数可微分。 例5: 解： 解 所求全微分 证明 （1） 令 (先证连续) (再证偏导数存在) §14.1 偏导数和全微分的概念 * *