第05讲 插值及拟合.ppt

插值与拟合 一、插值 1、多项式插值方法 几种常用的多项式插值 拉格朗日插值： 2、样条插值方法 设给定区间[a,b]的一个分化： a=x0x1…xn=b， 如果函数s(x)满足条件：在每个子区间[xi-1,xi]上是k次多项式，且具有直到k-1阶的连续导数，则称s(x)为一个k次多项式样条。 广泛使用的样条函数 二次样条的定义 三次样条函数的定义 5、三次样条插值 6、对水泵两段充水时间的处理 7、一天总用水量 8、检验 在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得血药浓度c(ug/ml)如下表: t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 c (?g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01 要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。从实验和理论两方面着手： 给药方案 1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度 （单位体积血液中的药物含量）的变化规律。 t c2 c c1 0 ? 问题 分析 理论：用一室模型研究血药浓度变化规律 实验：对血药浓度数据作拟合，符合负指数变化规律 2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。 3. 血液容积 v, t=0时注射剂量 d, 血药浓度即为 d/v. 2. 药物排除速率与血药浓度成正比，比例系数 k(0) 模型假设 1. 机体看作一个房室，室内血药浓度均匀——一室模型 模型建立 在此，d=300mg，t及c（t）在某些点处的值见前表，需经拟合求出参数k、v 用线性最小二乘拟合c(t) MATLAB(lihe1) 计算结果： d=300; t=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; c=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; y=log(c); a=polyfit(t,y,1) k=-a(1) v=d/exp(a(2)) 程序： 用非线性最小二乘拟合c(t) 给药方案设计 c c2 c1 0 ? t 设每次注射剂量D, 间隔时间? 血药浓度c(t) 应c1? c(t) ? c2 初次剂量D0 应加大 给药方案记为： 2、 1、 计算结果： 给药方案： c1=10,c2=25 k=0.2347 v=15.02 故可制定给药方案： 即: 首次注射 375 mg， 其余每次注射 225 mg， 注射的间隔时间为 4 小时。 用非线性最小二乘拟合c(t)-用lsqcurvefit(lsqnonlin) 2、主程序lihe2.m如下 clear tdata=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; cdata=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; x0=[10,0.5]; x=lsqcurvefit(curvefun3,x0,tdata,cdata); f=curvefun3(x,tdata) x MATLAB(lihe2) 1、用M-文件curvefun3.m定义函数 function f=curvefun3(x,tdata) d=300 f=(x(1)\d)*exp(-x(2)*tdata) % x(1)=v; x(2)=k MATLAB(FZXEC3) 拟合与插值的比较 问题：给定一批离散的数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面, 从而获取整体的规律。即通过窥几斑来达到知全豹。 解决方案： 若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。 若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； 从几何意义上看，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。 拟合与插值的区别 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？ MATLAB(cn) 最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：