矩阵及特征值和特征向量二次型.ppt

实验三 一、特征值与特征向量 二、 二次型化标准型 三、 正定二次型的判定 A = [4 –2 2;-2 1 –1/2;2 –1/2 1]; [ P , T ] = schur (A) P = 0.5458 -0.0000 0.8379 0.5925 0.7071 -0.3859 -0.5925 0.7071 0.3859 T = -0.3423 0 0 0 0.5000 0 0 0 5.8423 答：所作的正交变换为： 二次型的标准型为： 1. 顺序主子式判断法 ⑴ 求二次型 F=X’AX 的矩阵 A 的各阶顺序 主子式 Di (i=1,2,3…..); ⑵ 判断 Di 是否大于0 . 程序：建立函数文件 shxu.m function [C,M] =shxu(A) % C为A的各阶顺序主子式组成的向量 % M为判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; % others M(i)=0 n=size(A); C=[ ]; M=[ ]; for i=1:n(1) A1=A([1:i],[1:i]); D=det(A1); C=[C D]; if D0 m=1; else m=0; end M=[M,m]; end 2、特征值判别法 ⑴ 求二次型 f =X’AX 的矩阵 A 的全部特征 值 （i=1,2,……）； ⑵ 判断 是否大于 0 . 程序：建立函数文件 tezh.m function [ T , M ] = tezh (A) n=size(A); T=(eig(A))’ ; M=[ ]; for i =1:n(1) if T(i)0 m=1; else m=0; end M=[M,m]; end 例8 判定下列二次型是否正定 解 二次型矩阵 方法一 顺序主子式 A = [1 –1 2 1;-1 3 0 –3;2 0 9 –6;1 –3 –6 19] ; [C,M] = shxu (A) 答：此二次型是正定的。 C = 1 2 6 24 M = 1 1 1 1 方法二 特征值法 T = 0.0643 2.2421 7.4945 22.1991 M = 1 1 1 1 A = [ 1 –1 2 1;-1 3 0 –3;2 0 9 –6;1 –3 –6 19] [ T , M ] = tezh (A) 答：此二次型是正定的。 * * 矩阵的特征值和特征向量 二次型 实验目的 1、学会用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量 2、学会用MATLAB软件将二次型化为标准型 3、通过用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性 其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使 AV=VD 成立 用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下： d=eig(A) 仅计算A的特征值(以向量形式d存放) [V,D]=eig(A) trace(A) 计算矩阵A的迹 例1：求方阵 的特征值、特征向量和迹 解：