电子科技大学电磁场及电磁波课件第一章+矢量分析1.pptVIP

2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 第一课 第一课 第一课 概述 场：物理量的空间分布。 即：如果任一时刻、所在空间的每一点，某物理量 都有一个确定的值，则称：该空间存在该物理量的场。 矢量分析：00分析“场”的数学工具。 本章重点：（概念、计算） 1．亥姆霍兹定理（即：场的性质如何描述？）； 2．标量场——梯度。 3．矢量场——通量和散度、环量和旋度。 4.球坐标系、柱坐标系。 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交坐标系 1. 直角坐标系 2. 圆柱坐标系 4. 坐标单位矢量之间的关系 例:已知 , . 求: ? ? ? 1.3 标量场的梯度 二、场的几何描述：场图。 标量场：等值面。 矢量场：矢量线。 场图的意义：描述场量在空间的整体变化趋势。 例1-1 求标量场 ,通过点M(1, 0, 1)的 等值面方程。 解：点M 的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为 其等值面方程为: 即 2．计算公式 直角坐标系中，设函数u=u(x, y, z)在M0(x0, y0, z0)处可微，则有 式中:当Δl→0时 →0。 两边同除以 并取极限,得到方向导数计算公式： 其中:cosα, cosβ, cosγ为l方向的 方向余弦。 可见：方向导数值与点M0及l方向都有关系。 方向导数的最大值及其方向： 令： 方向单位矢量 矢量 （梯度公式） （给定点处，为常矢量） 则方向导数公式可表示为： 可见: 与 方向相同时,即 ，则方向导数取最大值，即 例1.3.1 已知 证明： 电磁场中，源点坐标（x’,y’,z’）、场点（x,y,z）. 1.4 矢量场的通量与散度 一.矢量场的场图：矢量线。 (1)矢量线的性质：线上各点处的切线方向为该点处 矢量方向。 例：电力线、磁力线、流速场中的流线等。 根据矢量线的疏密情况，可判断出该矢量的整体变化趋势。（场线不会相交） (2)矢量线方程： 设：P点为矢量 的矢量线上任一点，其位为 。 则P处的切线为： ;根据矢量线定义， 必有 直角坐标系中： 矢量线微分方程： 图1.4 矢量线 解该微分方程组，可得矢量线方程，从而描出矢量线。 例1.4.1 设点电荷q位于坐标原点，则周围空间的场强为 。求：场强E的矢量线方程？ 解： 散度定理的证明 1.5 矢量场的环流与旋度 例 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 求：自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度▽×E ？ 解: 1.6 无旋场与无散场 标量场由梯度完全确定： 1.7 拉普拉斯运算、格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 + - 二. 矢量场的通量 问题：如何定量描