数学不等式(竞赛).docVIP

潍坊讲义（新高二） （一）不等式 (排序不等式）设 是的一个排列，则 2．(均值不等式) 设是个正数，则 3．（柯西不等式）设则等号成立当且仅当存在，使得 变形：（1）设则 （2）设同号，且 则 4．（不等式）若是上的凸函数，则对任意 5．（幂均值不等式）设 则 证： 作变换 令，则 则 因 所以 则函数是上的凸函数，应用不等式即得。 6．（切比雪夫不等式）设两个实数组，则 （该不等式的证明只用排序不等式及的表达式就可得证） 7．（一个基础不等式） 其中 证：若中有一个为零，则结论成立。 设均不为零，则原不等式等价于不等式 令 则上式 记 则 当 且所以函数在取得最小值0，从而可得证结论。 8．（不等式）设 且，则 （等号成立当且仅当） 证： 在不等式7中令 则有 所以 令 则得证不等式。 *9.与对数函数有关的一个不等式， （该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性） *10．三角函数有关的不等式 *11。舒尔（）不等式 设，则 证明：首先考虑设，则 由于对称性可设 （1）当时 左边 所以 结论成立； （2）当时 ，， 左边 结论得证； （3）当时 ，， 左边 结论 得证。 当时有 *12。闵可夫斯基（）不等式 如果与都是非负实数，，那么 证明： 应用不等式得 ， 。 从而 得证。 设 且 求证 证：（1）由柯西不等式 而 由条件即得 所以结论成立。 （2）由幂均值不等式（） （3）由切比雪夫不等式，不妨设，则 设 求证 证：左边= （由柯西不等式的变形） 又 即 所以 又 结合上述两式得证结论。 例3：已知为满足的正数，求证： 证明：由柯西不等式的变形知 而 所以原不等式成立。 4．是正实数，求证： 证明：显然 同理， 所以可得 若 （*）， 则 即 同理， 所以 （因为） 若上述假设（*）不成立，不妨设 ，则 由柯西不等式 故， 同理 所以 综上可知 ，当且仅当时等号成立。 5． 若 均大于，求证 证明： 事实上 故 （当且仅当 时等号成立） 6.已知 为正实数，证明：若 ，则 证： 显然 在区间 [0，2]上，设 ， 当为正数时 为增函数 因此，对任意的正数 至多有一正数满足。 下面证明 满足 事实上 若 ，则 是满足条件的唯一值。 下面证明，若 则不存在满足条件的。 事实上，满足条件的一定满足下面方程 此时上面方程若有解 ，则 从而均小于零，所以不存在满足条件的。 因此 （是一个锐角三角形的三个内角） 则 （上式利用是上的凹函数）所以结论得证。 7.已知正数 ，满足条件： 。 求 的最小值。 解： 先证明一个不等式 对所有的正数成立。 （事实上，上式等价于 即 显然成立） 于是，利用次如上不等式，得 当 时等号成立。 故所求最小值为 例8：设为正数，且，求的最小值。 解：由，即 。 则由柯西不等式的变形知 且当及时等号成立。 故的最小值为 设 求证 证： 设 则原不等式等价于 即 由柯西不等式 将上式分子与分母展开，应用柯西不等式可证原不等式成立。 9.设正数满足求函数 的最小值。 解： 由已知条件可解除 令 则 从而 下面估计 只需要证明 利用均值不等式 从而结论成立，即 且等号当， 即时成立。 所以的最小值为 10.证明：对任意自然数，成立不等式 证：设 因为 如果 ，则 所以，如果，则由数学归纳法可知 也就是 成立，但事实上显然不成立，所以不成立。也就是原不等式得证。 11.非负数中最大的一个为，证明不等式 （并给出等号成立的条件） 证：设 则 （因为） 等号成立，第一 对每个成立 即或者第二 这两种情况都成立只有如下两种情况（1）所有均为0；（2）为偶数，个其余的个 12.已知 满足 ，求证 证：（1）设中大于0的实数有，不大于0的有，则由已知条件得 所以 另一方面 所以 （2） 记 由 得 不妨设 则 ，于是 从而 13.非负实数和正数满足，求证 证明：因为，则知 ， 不妨设，则 事实上如果，则 且是可达的（如即可）。 14.若为非负实数，满足，证明 证明：由于题中条件与结论是关于对等，所以可设，由，则有，则 于是 同理由假设可知 从而 （其中 ） （） 例15．的三边满足，证明 证明：因为 所以，原不等式等价于 构造一个辅助函数 一方面，， 所以 ， 另一方面，为三角形的三条边长，所以 则 均为正数，利用平均不等式有， 所以， 即 （本题巧妙的运用了特殊不等式以及辅