yz轴的转动惯量.PPTVIP

（二）刚体的动能 质点组： 刚体：质点间距不变，T′只可能是围绕质心的转动动能 ∴ 刚体的动能T =随质心平动的动能TC+绕质心转动的动能T ′ 求T ′：先讨论刚体绕定点转动的动能T 以定点O为原点，刚体绕O以角速度ω转动： 可以固定， 也可以运动 刚体绕定点O转动的动能为： 对通过固定点O的瞬时转轴的转动惯量 如选取的坐标轴是对于O点的惯量主轴，则惯量矩阵是对角化的： 主转动惯量，绕x,y,z轴的转动惯量 (5.24a) O 回到绕质心C的转动动能T ′： 质心C可以固定，也可以运动，不论C是否运动， 与惯性系(对定点O)的形式相同，故可仿照TO的形式给出，即： 这样便得到刚体作一般运动时的动能表达式： (5.25) 上面讨论的是刚体定点转动和一般运动时的动能表达式。对刚体的其它运动形态： (1) 平动 (2) 定轴转动 设转轴为z轴，坐标原点取在z轴上，从而 则： 其中： (3) 平面平行运动 —— 非定点运动，但瞬时轴平行 取与刚体运动平面垂直的方向为z轴方向，则： ——对通过质心的瞬时转轴的转动惯量 例5.4 边长为a、质量为m的匀质立方体，绕对角线以角速度ω转动。求此立方体的动能。 解： 选取坐标系如图所示，OA为转轴方向 三个坐标轴都不是惯量主轴，但从对称性易知： 惯量积： 对O点的惯量矩阵为： 评注： 取质心C作为坐标原点，计算将更为方便。这时，三个坐标轴均为惯量主轴，所有惯量积均为零，对角元素： 不变 作业 P165 9 角速度的欧拉角表示: 复习 作平面平行运动的刚体，总可以找到速度为零的点S: 几何法： 解析法： 注：刚体转动的角速度?与基点的选取无关。 §5.2 刚体的动量、角动量和动能 （一）刚体的角动量和惯量张量 质点组对固定点(坐标原点)的角动量： 特殊的质点组：质点组的动量、角动量和动能定义适用，但表示式应有更简明的形式。 质点组的动量： 简明！ 以下主要讨论刚体的角动量和动能。 刚体绕此固定点以角速度ω转动时， 代入： 可见:(1) 角动量与角速度的关系较为复杂； (2) 角速度各分量的系数都只与刚体的质量分布有关，与 运动无关。 引入符号Jij(i,j=x,y,z)， 则： (1) Jij(i,j=x,y,z)共9个分量，构成对称的三阶矩阵，称为惯量矩阵； (2) 9个分量构成一个二级张量 ，称为惯量张量； (3) 表征刚体转动时的惯量特征，是刚体本身的特性，与刚体相对于定点的质量分布有关，而与运动无关； (4) 与定点的位置有关，只对确定的点有意义； (5) Jij是质点坐标的二次方项，只有6个独立元素，其中对角元素Jxx 、 Jyy 、 Jzz分别是刚体对x、y、z轴的转动惯量，非对角元素Jij (i≠j)称为惯量积。 说明： 同质点组类似，刚体的角动量L若用质心参量表示，则： 刚体随质心平动对坐标原点的角动量 刚体绕质心转动的角动量，可用： 求，只是 应对质心C求取。 对惯量矩阵 的进一步讨论： 1. 惯量主轴 (1) 概念 的方向一般不一致 数学上可以找到一些特殊方向，刚体绕通过定点并与这些方向一致的轴转动时， 的方向一致，都沿此方向。这些特殊方向的轴，称为惯量主轴，简称主轴。 对刚体上的任何定点，总可以找到三个相互垂直的惯量主轴(线性代数中矩阵的对角化)。 (2) 惯量主轴与矩阵元Jij的关系 若x轴是惯量主轴，则： 同样，若y轴是惯量主轴，则： 若z轴是惯量主轴，则： 即：与惯量主轴相关的惯量积等于零。 (3) 惯量主轴的确定方法 利用惯量主轴的上述特性，对具有对称性的均匀刚体，容易从几何上找出惯量主轴—— (i) 对称轴 例如： 若x轴是对称轴，则点(x, y, z)必存在对称点(x, -y, -z) ∴ x轴是惯量主轴 (ii)（通过定点的）对称面的法线 例如： 若yz面是通过定点的对称面，则x轴是该面的法线， 点(x, y, z)必存在对称点(-x, y, z) ∴ x轴(对称面yz的法线)是惯量主轴 2. 转动惯量 惯量 刚体定点转动： ，二级张量，惯量张量 刚体定轴转动：J ，标量，转动惯量 两者既有区别，又有联系，如：Jxx, Jyy, Jzz分别是绕过定点的x, y, z轴的转动惯量；刚体绕任意轴线l的转动惯量J是Jij的运算结果： 刚体对轴线l的角动量，是对轴上某一点的角动量在该轴线方向上的分量： 质点到转轴的垂直距离 转动惯量J也可由对定点的惯量矩阵求得： 转轴l的方向余弦 角速度ω沿转轴方向： ——定义 应用：只要知