平面几何中及几个重要定理.doc

平面几何中的几个重要定理 塞瓦定理 塞瓦（G。Ceva 1647—1743），意大利著名数学家。 塞瓦定理 设为三边所在直线外一点，连接分别和的边或三边的延长线交于（如图1），则 与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理。 塞瓦定理逆定理 设为的边或三边的延长线上的三点（都在三边上或只有其中之一在边上），如果有 ， 则三直线交于一点或互相平行。 如图3，是内一点，分别与边交于，过三点作圆，与三边交于。求证：交于一点。 设分别为三边的中点，为内一点，分别交于（如图4）。求证：三线共点。 以各边为底边向外作相似的等腰三角形（如图5）。求证相交于一点。 梅涅劳斯定理 Menelaus（公元98年左右），希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作《球论》里。 梅涅劳斯定理 设的三边或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线交于三点（如图6），则 。 梅涅劳斯定理逆定理 设分别是的三边上或它们延长线上三点，若有 ， 则三点在同一直线上。 例4．设的∠A的外角平分线与BC的延长线交于P,∠B的平分线与AC交于Q,∠C的平分线和AB交于R.求证： 三点在同一直线上。 图8，过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线。 注： 直线PQR叫做△ABC的莱莫恩（Lemoine）线 例6（戴沙格定理）设△ABC和△对应点的连线、、交于一点，这时如果对应边和、和、和（或它们的延长线）相交，则它们的交点D、E、F在同一直线上。 注：戴沙格定理是射影几何中的重要定理。 例7．（牛顿定理）设四边形的一组对边和的延长线交于点，另一组对边 和的延长线交于点，则的中点、的中点及的中点，三点共线。 三．斯特瓦尔特定理 Stewart （1753—1828），英国数学家、哲学家。 斯特瓦尔特定理 如图，设P是的边上一点，且==，则有 斯特瓦尔特定理另外形式： 或 当时，P为BC的中点，有 （巴布斯定理） （中线定理） 当AP是△ABC∠A的平分线是，有 。 例8．在△ABC中设AB=c，AC=b，cb，AD是∠A的平分线，E为BC上一点，且BE=CD。 求证：。 例9．设为△ABC的重心，M是平面上任意一点，求证： 练习 1．△ABC的边BC上任意一点D，设∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于F和E，求证：AD、BE、CF交于一点。 2．已知AD是△ABC的边BC上的高，P为AD上任意一点，直线BP、CP分别交AC、AB于E、F，求证：∠FDA=∠ADE。 3．△ABC中，内切圆⊙O与各边BC、CA、AB相切于D、E、F，求证：AD、BE、CF交于一点。 4．在△ABC中，，AM为BC边上的中线，AD为∠A的平分线，顶点B在AD上的射影为E，BE交AM于N，求证：DN∥AB。 5．设△ABC的三个旁切圆在BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则AD、BE、CF交于一点。 6．设平行四边形ABCD内一点E，过E引AB的平行线与AD、BC交于K、G，过E引AD的平行线与AB，CD交于F、H，则FK、BD、GH互相平行或交于一点。 7．一条直线与三角形三边或其延长线交于L、M、N，若点与L、M、N关于三边的中点对称，求证三点共线。 8．设四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为，则相交于一点 （或相交于一点） 9．设D、E为的边上两点，且，则 10．设正三角形ABC边长为a，P为平面上任意一点，证明：。 三．托勒密定理 Ptolemy（约公元85—165年），希腊大数学家，他的主要著作《天文集》被后人称作“伟大的数学书”。 托勒密定理 设四边形ABCD内接于圆，则有 。 如图，设为平行四边形的边上的两点，的外接圆交对角线于。求证：。 例2．设为圆内接正方形，为弧上一点，求证： 例3。如图，已知圆内接正五边形，若为弧上一点，则 例4．设为同心圆，的半径是的半径的2倍，四边形内接于圆，分别延长交圆于，求证：四边形的周长不小于四边形的周长的2倍。 西姆松定理 R．Simson（1867—1768），英国数学家，曾于1756年校订了欧几里德的《几何原本》。 西姆松定理 从的外接圆上任意一点向或它们的延长线引垂线，垂足分别为，则三点共线。 过点的直线叫做关于点的西姆松线 西姆松定理的逆定理也成立，即： 从的三边或它们的延长线引垂线，垂足分别为在同一直线上，则点在的外接圆上。 西姆松定理还可以推广为： （