高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布.pptVIP

* * 3. 4 随机变量的独立性与条件分布 第三章 随机变量的联合概率分布 一、随机变量的独立性: 设二维随机变量(X , Y)的分布函数为 F(x , y) . 1、边缘分布函数: 由于X 和 Y 都是随机变量, 所以各有其分布函数. 将X 的分布函数FX (x) , 称为(X , Y)关于X 的边缘 分布函数; 将 Y 的分布函数FY (y) , 称为(X , Y)关于Y 的边缘 分布函数 . 已知二维随机变量(X , Y)的分布函数为 F (x , y), 2、随机变量 X 和 Y 相互独立: 2、X 和 Y 相互独立的充要条件: 例3.8 设 (X , Y)～ N(μ1, μ2, σ12, σ22 , ρ ) , 求证: X 与Y 相互独立的充要条件是 ρ =0 解 若 (X , Y)～ N(μ1, μ2, σ12, σ22 , ρ ) , 则联合密度 函数为 因为 例3.9 设二维离散型随机变量(X , Y )的分布律为 1/6 1/9 1/18 1/3 α β 1 2 3 1 2 Y X 问当α , β 取何值时, X 与Y 相互独立? 1/3 1/3 +α+β P 1 2 X 解 X 及 Y 的边缘分布律为 1/2 1/9 +α 1/18 +β P 1 2 3 Y 若X 与 Y 相互独立, 则有 例3.10 设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量 , X 在( 0 , 1 )上服从均匀分布, Y 的密度函数为 设有 a 的二次方程为 a 2 + 2a X + Y = 0 , 求此方程有实根的概率 . O y 1 又 X 与 Y 相互独立 , 故(X , Y)的联合密度为 而含有 a 的二次方程有实根的判别式为 由图所示 , 得 x 1 二、条件分布: 设(X , Y)是二维离散型随机变量, 其联合分布律为 引入: 1、定义3.6: 设(X , Y)是二维离散型随机变量, 若对固定的 例3.11 一袋中装有1个红球, 2个白球, 3个黑球, 从中任取4球, 以 X , Y 分别表示4球中红球 及白球的数量, 求 (1) (X , Y)的联合分布 ; (2) 写出当 X = 0 时 Y 的条件分布律 ; (3) 写出当 X = 1 时 Y 的条件分布律 . 解 (1) 由题意知 X 可能的取值是 0 , 1 ; Y 可能的取值是 0 , 1 , 2 ; 于是( X , Y )的联合分布律为 0 2/15 3/15 1/15 6/15 3/15 0 1 2 0 1 Y X (2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 1/15 10/15 P 0 1 X 由条件分布定义可知